Transformacja rentgenowska

W matematyce transformata rentgenowska (zwana także transformacją Johna ) jest transformacją całkową wprowadzoną przez Fritza Johna w 1938 r., która jest jednym z kamieni węgielnych współczesnej geometrii całkowej . Jest bardzo blisko spokrewniony z transformatą Radona i pokrywa się z nią w dwóch wymiarach. W wyższych wymiarach transformata rentgenowska funkcji jest definiowana przez całkowanie po liniach , a nie po hiperpłaszczyznach jak w transformacji Radona. Transformata rentgenowska wywodzi swoją nazwę od tomografii rentgenowskiej (stosowanej w tomografii komputerowej ), ponieważ transformata rentgenowska funkcji ƒ reprezentuje dane tłumienia skanu tomograficznego przez niejednorodny ośrodek, którego gęstość jest reprezentowana przez funkcję ƒ . Odwrócenie transformacji rentgenowskiej ma zatem praktyczne znaczenie, ponieważ pozwala zrekonstruować nieznaną gęstość ƒ na podstawie znanych danych dotyczących tłumienia.

W szczegółach, jeśli ƒ jest zwarto obsługiwaną funkcją ciągłą w przestrzeni euklidesowej R ⁿ , to transformata rentgenowska ƒ jest funkcją Xƒ zdefiniowaną na zbiorze wszystkich prostych w R ⁿ przez

${\ Displaystyle Xf (L) = \ int _ {L} f = \ int _ {\ mathbf {R}} f (x_ {0}+t\theta )dt}$

₀ gdzie x jest punktem początkowym prostej, a θ jest wektorem jednostkowym określającym kierunek prostej L . Ta ostatnia całka nie jest rozpatrywana w sensie zorientowanym: jest to całka względem jednowymiarowej miary Lebesgue'a na prostej euklidesowej L .

Transformacja rentgenowska spełnia równanie fali ultrahiperbolicznej zwane równaniem Johna .

Funkcję hipergeometryczną Gaussa można zapisać jako transformatę rentgenowską ( Gelfand, Gindikin & Graev 2003 , 2.1.2).

• Berenstein, Carlos A. (2001) [1994], „Transformacja rentgenowska” , Encyklopedia matematyki , EMS Press .
•    Gelfand, IM; Gindikin, SG; Graev, MI (2003) [2000], Wybrane tematy z geometrii całkowej , Tłumaczenia monografii matematycznych, tom. 220, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-2932-5 , MR 2000133
•    Helgason, Sigurdur (2008), Analiza geometryczna w przestrzeniach symetrycznych , Przeglądy matematyczne i monografie, tom. 39 (wyd. 2), Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-4530-1 , MR 2463854
• Helgason, Sigurdur (1999), The Radon Transform (PDF) , Progress in Mathematics (wyd. 2), Boston, MA: Birkhauser