Trzy zasady prawdziwej analizy Littlewooda

analizy rzeczywistej Littlewooda to heurystyki JE Littlewooda , które pomagają uczyć podstaw teorii miary w analizie matematycznej .

Zasady

Littlewood określił zasady w swoich Wykładach z teorii funkcji z 1944 r . Jako:

Istnieją trzy zasady, które można z grubsza wyrazić następującymi terminami: Każdy ( mierzalny ) zbiór jest prawie skończoną sumą przedziałów; każda funkcja (klasy Lp ⁾ jest prawie ciągła ; każdy zbieżny ciąg funkcji jest prawie jednostajnie zbieżny .

Pierwsza zasada opiera się na fakcie, że miara wewnętrzna i miara zewnętrzna są równe dla zbiorów mierzalnych, druga na twierdzeniu Łuzina , a trzecia na twierdzeniu Jegorowa .

Przykład

Trzy zasady Littlewooda są cytowane w kilku prawdziwych tekstach analitycznych, na przykład Royden, Bressoud oraz Stein & Shakarchi.

Royden podaje twierdzenie o ograniczonej zbieżności jako zastosowanie trzeciej zasady. Twierdzenie stwierdza, że jeśli jednostajnie ograniczony ciąg funkcji jest zbieżny punktowo, to ich całki na zbiorze skończonej miary zbiegają się do całki funkcji granicznej. Gdyby zbieżność była jednostajna, byłby to trywialny wynik, a trzecia zasada Littlewooda mówi nam, że zbieżność jest prawie jednostajna, to znaczy jednostajna poza zbiorem dowolnie małych miar. Ponieważ sekwencja jest ograniczona, wkład do całek małego zbioru może być dowolnie mały, a całe reszty zbiegają się, ponieważ funkcje są tam jednostajnie zbieżne.

Notatki

^ Littlewood, JE (1944). Wykłady z teorii funkcji . Oxford University Press. P. 26 . OCLC 297140 .
^ Royden, HL (1988). Analiza rzeczywista (wyd. 3). Nowy Jork: Macmillan. P. 72 . ISBN 978-0-02-404151-7 .
^ Bressoud, David (2008). Radykalne podejście do teorii integracji Lebesgue'a . Cambridge: Cambridge University Press. P. 191 . ISBN 978-0-521-88474-7 .
^ Stein, Eliasz ; Rami Shakarchi (2005). Analiza rzeczywista: teoria miary, całkowanie i przestrzenie Hilberta (PDF) . Princeton: Princeton University Press. P. 33. ISBN 978-0-691-11386-9 . Źródło 2008-07-03 .
Bibliografia _ 84

[1] Littlewood, JE (1944). Wykłady z teorii funkcji . Oxford University Press. P. 26 . OCLC 297140 .

[Royden-2] Royden, HL (1988). Analiza rzeczywista (wyd. 3). Nowy Jork: Macmillan. P. 72 . ISBN 978-0-02-404151-7 .

[3] Bressoud, David (2008). Radykalne podejście do teorii integracji Lebesgue'a . Cambridge: Cambridge University Press. P. 191 . ISBN 978-0-521-88474-7 .

[4] Stein, Eliasz ; Rami Shakarchi (2005). Analiza rzeczywista: teoria miary, całkowanie i przestrzenie Hilberta (PDF) . Princeton: Princeton University Press. P. 33. ISBN 978-0-691-11386-9 . Źródło 2008-07-03 .

[5] Bibliografia _ 84