Twierdzenie Bapata-Bega

W teorii prawdopodobieństwa twierdzenie Bapata – Bega podaje łączny rozkład prawdopodobieństwa statystyk rzędów niezależnych , ale niekoniecznie identycznie rozłożonych zmiennych losowych w kategoriach skumulowanych funkcji dystrybucji zmiennych losowych. Ravindra Bapat i Beg opublikowali twierdzenie w 1989 roku, chociaż nie przedstawili dowodu. Prosty dowód przedstawił Hande w 1994 roku.

Często wszystkie elementy próby pochodzą z tej samej populacji, a zatem mają ten sam rozkład prawdopodobieństwa . Twierdzenie Bapata-Bega opisuje statystyki porządkowe, gdy każdy element próby jest uzyskiwany z innej populacji statystycznej , a zatem ma swój własny rozkład prawdopodobieństwa .

Oświadczenie

Niech ${\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n}}$ będą niezależnymi zmiennymi losowymi o wartościach rzeczywistych z skumulowanymi funkcjami dystrybucji odpowiednio ${\ Displaystyle F_ {1} (x), F_ {2} (x), \ ldots, F_ {n} (x)}$ . Napisz ${\ Displaystyle X_ {(1)}, X_ {(2)}, \ ldots, X_ {(n)}}$ dla statystyk zamówień. ${\ Displaystyle n_ {1}<n_ {2}<\ cdots <n_ {k}}$ łączny rozkład prawdopodobieństwa porządkowych ${\ Displaystyle n_ {1}, n_ {2}$ i ${\ Displaystyle x_ {1}<x_ {2}<\ cdots <x_ { k}}$ ) jest

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} F_ {X_ {(n_ {1})}, \ ldots, X_ {(n_ {k})}} (x_ {1}, \ ldots, x_ {k})$

Gdzie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i P_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {k}} (x_ {1}, \ ldots, x_ {k} )={}\\[5pt]&\operatorname {per} {\begin{bmatrix}F_{1}(x_{1})\cdots F_{1}(x_{1})&F_{1}(x_{ 2})-F_{1}(x_{1})\cdots F_{1}(x_{2})-F_{1}(x_{1})&\cdots &1-F_{1}(x_{k })\cdots 1-F_{1}(x_{k})\\F_{2}(x_{1})\cdots F_{2}(x_{1})&F_{2}(x_{2}) -F_{2}(x_{1})\cdots F_{2}(x_{2})-F_{2}(x_{1})&\cdots &1-F_{2}(x_{k})\ cdots 1-F_{1}(x_{k})\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\underbrace {F_{n}(x_{1})\cdots F_{n}(x_{1}) } _{i_{1}}&\podszewka {F_{n}(x_{2})-F_{n}(x_{1})\cdots F_{n}(x_{2})-F_{n} (x_{1})} _{i_{2}-i_{1}}&\cdots &\underbrace {1-F_{n}(x_{k})\cdots 1-F_{n}(x_{k })} _{n-i_{k}}\end{bmatrix}}\end{wyrównane}}}$

jest permanentem danej macierzy blokowej . (Liczby pod nawiasami klamrowymi pokazują liczbę kolumn.)

Niezależny identycznie rozłożony przypadek

${\ displaystyle F_ {i} = F}$ przypadku $rozkład$ mają z funkcją ja dla wszystkich ja twierdzenie sprowadza się do

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i F_ {X_ {(n_ {1})}, \ ldots, X_ {(n_ {k})}} (x_ {1}, \ ldots, x_ {k}) \\ [8pt]={}&\suma _{i_{k}=n_{k}}^{n}\cdots \suma _{i_{2}=n_{2}}^{i_{3}}\suma _{i_{1}=n_{1}}^{i_{2}}n!{\frac {F(x_{1})^{i_{1}}}{i_{1}!}}{\ frac {(1-F(x_{k}))^{n-i_{k}}}{(n-i_{k})!}}\prod \limits _{j=2}^{k}{ \frac {\left[F(x_{j})-F(x_{j-1})\right]^{i_{j}-i_{j-1}}}{(i_{j}-i_{ j-1})!}}.\end{wyrównane}}}$

Uwagi

• Nie jest potrzebne założenie ciągłości skumulowanych funkcji dystrybucyjnych.
• Jeśli nierówności x ₁ < x ₂ < ... < x _k nie są narzucone, niektóre nierówności „mogą być zbędne, a prawdopodobieństwo można ocenić po dokonaniu niezbędnej redukcji”.

Złożoność

Glueck i in. zauważ, że formuła Bapat-Beg jest obliczeniowo trudna, ponieważ obejmuje wykładniczą liczbę stałych o wielkości równej liczbie zmiennych losowych. Jednakże, gdy zmienne losowe mają tylko dwa możliwe rozkłady, złożoność można zredukować do ${\ Displaystyle O (m ^ {2k})}$ . Tak więc $w$ przypadku dwóch populacji złożoność jest wielomianowa $ustalonej$ liczby statystyk .