Twierdzenie Carathéodory-Jacobi-Lie

Carathéodory , – Jacobi – Lie twierdzenie jest twierdzeniem w geometrii symplektycznej które uogólnia twierdzenie Darboux .

Oświadczenie

Niech M będzie 2 n -wymiarową rozmaitością symplektyczną o postaci symplektycznej ω. Dla p ∈ M i r ≤ n , niech f ₁ , f ₂ , ..., f _r będą gładkimi funkcjami zdefiniowanymi w otwartym sąsiedztwie V p , którego różniczki są liniowo niezależne w każdym punkcie, lub równoważnie

${\ Displaystyle df_ {1} (p) \ klin \ ldots \ klin df_ {r} (p) \ neq 0,}$

gdzie {fi _i , f _j } = 0. (Innymi słowy, są parami w inwolucji.) Tutaj {–,–} to nawias Poissona . Wtedy są funkcje f _r+1 , ..., f _n , g ₁ , g ₂ , ..., g _n zdefiniowane na otwartym sąsiedztwie U ⊂ V od p takie, że (fi _, g _i ) jest symplektyką wykres M , tj. ω jest wyrażone na U jako

${\ Displaystyle \ omega = \ suma _ {i = 1} ^ {n} df_ {i} \ klin dg_ {i}.}$

Aplikacje

Jako bezpośrednia aplikacja mamy następujące. Biorąc pod uwagę system hamiltonowski jako gdzie $rozmaitością symplektyczną z$ symplektyczną, H jest funkcją hamiltonowską wokół każdego punktu $}$ Displaystyle gdzie $wykres$ symplektyczny taki, że jedną z jego H .

•   Lee, John M., Wprowadzenie do gładkich rozmaitości , Springer-Verlag, Nowy Jork (2003) ISBN 0-387-95495-3 . Podręcznik dla absolwentów o gładkich rozmaitościach.