Twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda

W matematyce twierdzenie Cauchy'ego -Hadamarda jest wynikiem złożonej analizy nazwanej na cześć francuskich matematyków Augustina Louisa Cauchy'ego i Jacquesa Hadamarda , opisującej promień zbieżności szeregu potęgowego . Został opublikowany w 1821 roku przez Cauchy'ego, ale pozostał stosunkowo nieznany, dopóki Hadamard nie odkrył go ponownie. Pierwsza publikacja tego wyniku przez Hadamarda miała miejsce w 1888 roku; włączył to również jako część swojego doktoratu z 1892 roku. Praca dyplomowa.

Twierdzenie dla jednej zmiennej zespolonej

Rozważ formalny szereg potęgowy w jednej zmiennej zespolonej z postaci

{\ Displaystyle f (z) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} (za) ^ {n}}

gdzie

{\ Displaystyle a, c_ {n} \ w \ mathbb {C}.}

Wtedy promień zbieżności $punkcie$ w a jest określony przez

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {R}} = \ limsup _ {n \ do \ infty} \ lewo (| c_ {n} | ^{1/n}\prawo)}

gdzie

lim sup

oznacza granicę nadrzędną , granica, gdy

n

zbliża się do nieskończoności wartości supremum kolejnych wartości po n- tej pozycji. Jeśli wartości sekwencji są nieograniczone, tak że

lim sup

wynosi ∞, to szereg potęgowy nie jest zbieżny w pobliżu

a

, natomiast jeśli

lim sup

wynosi 0, to promień zbieżności wynosi ∞, co oznacza, że szereg jest zbieżny na całej płaszczyźnie.

Dowód

Bez utraty ogólności załóżmy, że ${\ displaystyle a = 0}$ . Pokażemy $dla$ zbieżny ${\ displaystyle | z| <R}$ , a następnie, że jest rozbieżny dla ${\ displaystyle | z|> R}$ .

Najpierw przypuśćmy ${\ displaystyle | z| <R}$ . Niech ${\ displaystyle t = 1/R}$ nie będzie ${\ displaystyle 0}$ lub ${\ displaystyle \ pm \ infty.}$ Dla każdego $taka$ tylko skończona liczba ${\ displaystyle n}$ , ${\ textstyle {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}} \ geq t + \ varepsilon}$ . Teraz ${\ Displaystyle | c_ {n} | \ równoważnik (t + \ varepsilon) ^ {n}}$ dla wszystkich oprócz skończonej liczby do $\ Displaystyle c_ {n}}$ , więc seria ${\ textstyle \ suma _ {n} c_ {n} z ^ {n}}$ zbiega się, jeśli ${\ Displaystyle | z | <1 / (t + \ varepsilon)}$ . To dowodzi pierwszej części.

, dla ${\ displaystyle \ varepsilon > 0}$ ${\ Displaystyle | c_ {n} | \ geq (t- \ varepsilon) ^ {n}}$ dla nieskończenie wielu ${\ Displaystyle c_ {n}}$ , więc jeśli ${\ Displaystyle | z | = 1 / (t- \ varepsilon)> R}$ , widzimy, że szereg nie może być zbieżny, ponieważ jego n- ty wyraz nie dąży do 0.

Twierdzenie dla kilku zmiennych zespolonych

Niech będzie $wieloindeksem$ ( n -krotką liczb całkowitych) ${\ Displaystyle |\ alfa |= \ alfa _ {1} + \ cdots + \ alfa _ {n}}$ , wtedy ${\ Displaystyle f (x)}$ zbiega się z promieniem konwergencji ( $wtedy$ jest również multiindeksem) i tylko wtedy, gdy