Twierdzenie Commandino

Mediany czworościanu przecinające się w punkcie $ciężkości$ ), takie, że ${\ Displaystyle {\ Frac {|AS |} {| SS_ {BCD} |}} = {\ Frac {| BS |} {| SS_ {ACD} |}} = {\ Frac {| CS |} {|SS_{ABD}|}}={\frac {|DS|}{|SS_{ABC}|}}={\frac {3}{1}}}$

Twierdzenie Commandino , nazwane na cześć Federico Commandino (1509–1575), stwierdza, że ​​cztery środkowe czworościanu są współbieżne w punkcie S , który dzieli je w stosunku 3:1 . W czworościanie mediana jest odcinkiem linii, który łączy wierzchołek ze środkiem ciężkości przeciwległej ściany – to znaczy środkiem ciężkości przeciwległego trójkąta. Punkt S jest również środkiem ciężkości czworościanu.

Historia

Twierdzenie przypisuje się Commandino, który stwierdził w swojej pracy De Centro Gravitatis Solidorum (Środek grawitacji ciał stałych, 1565), że cztery środkowe czworościanu są zbieżne. Jednak według XIX-wiecznego uczonego Guillaume Libri Francesco Maurolico (1494–1575) twierdził, że znalazł wynik wcześniej. Libri uważał jednak, że był znany Leonardo da Vinci , który najwyraźniej wykorzystywał go w swojej pracy. Julian Coolidge podzielał tę ocenę, ale zwrócił uwagę, że nie mógł znaleźć żadnego wyraźnego opisu ani matematycznego traktowania twierdzenia w pracach da Vinci. Inni uczeni spekulowali, że wynik mógł być znany greckim matematykom już w starożytności.

Uogólnienia

Twierdzenie Commandino ma bezpośredni odpowiednik dla simpleksów dowolnego wymiaru :

Δ ${R} ^ {n} \; (d, n \ in \ mathbb {N}, n \ geq d)} i$$\ Displaystyle \ Delta}$$-simplex$ pewnego wymiaru R $∈$$\$ niech ${\ Displaystyle V_ {0}, V_ {1} ,\ldots ,V_{p}}$ będą jego wierzchołkami. Ponadto $_$$_ }$ _ , linie łączące każdy wierzchołek $}$ środkiem ciężkości przeciwnego ${\ Displaystyle (d-1$ -wymiarowy aspekt ${\ Displaystyle V_ {0} \ ldots V_ {i-1} V_ {i + 1} \ ldots V_ {d}}$ . Następnie linie te przecinają się w punkcie $: 1}$$d$ { .

Pełna ogólność

Pierwszy analog można łatwo udowodnić za pomocą następującego, bardziej ogólnego wyniku, który jest analogiczny do sposobu działania dźwigni w fizyce:

Niech $\ displaystyle m}$${\ displaystyle {\ mathcal {V}}$ i ${\ displaystyle k}$ będą liczbami naturalnymi , tak że w - przestrzeni wektorowej $}$ , ${\ Displaystyle m + k}$ parami różne punkty $kropki ,Y_{k}\in {\mathcal {V}}} .$${\ Displaystyle X_ {1}, \ kropki, X_ {m}, Y_ {1}, \$ podane są

Niech będzie środkiem ciężkości punktów $S X {\ Displaystyle S_ {X$${\ Displaystyle X_ {i} \; (i = 1, \ kropki, m)}$ , niech ${\ Displaystyle S_ {Y}}$ będzie środkiem ciężkości punktów ${\ Displaystyle Y_ {j} \; (j = 1, \ kropki, k)}$ i niech być $displaystyle$ ciężkości wszystkich tych punktów $m + k}$ .

Wtedy mamy

${\ Displaystyle S = S_ {X} + {\ Frac {k} {m + k}} (S_ {Y} -S_ {X}) = {\ Frac {m} {m + k}} S_ {X} + {\ Frac {k} {m + k}} S_ {Y}.}$

W szczególności środek ciężkości $leży$ na linii $\ overline {{S_ {X} }} {S_ {Y}}}}}$ i dzieli go w stosunku ${\ displaystyle k: m}$ .

Twierdzenie Reuscha

Poprzednie twierdzenie ma dalsze interesujące konsekwencje inne niż wspomniane uogólnienie twierdzenia Commandino. Można go użyć do udowodnienia następującego twierdzenia o środku ciężkości czworościanu, opisanego po raz pierwszy w Mathematische Unterhaltungen przez niemieckiego fizyka Friedricha Eduarda Reuscha :

Środek ciężkości czworościanu można znaleźć, biorąc punkty środkowe dwóch par dwóch jego przeciwległych krawędzi i łącząc odpowiednie punkty środkowe przez ich odpowiednią linię środkową. Punkt przecięcia obu linii środkowych będzie środkiem ciężkości czworościanu.

Ponieważ czworościan ma sześć krawędzi w trzech przeciwległych parach, otrzymuje się następujący wniosek:

W czworościanie trzy linie środkowe odpowiadające punktom środkowym przeciwległych krawędzi są współbieżne , a ich punktem przecięcia jest środek ciężkości czworościanu.

Twierdzenie Varignona

Konkretny przypadek twierdzenia Reuscha, w którym wszystkie cztery wierzchołki czworościanu są współpłaszczyznowe i leżą na jednej płaszczyźnie, degenerując się w ten sposób do czworoboku , twierdzenie Varignona , nazwane na cześć Pierre'a Varignona , stwierdza, co następuje:

będzie dany czworobok w ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}} .$ Następnie dwie linie środkowe łączące punkty środkowe przeciwległych krawędzi przecinają się w środku ciężkości czworoboku i są przez nią podzielone na pół.

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Twierdzenie Commandino” . MathWorld .
• Kilka ładnych rozszerzeń właściwości mediany