Twierdzenie Denjoya-Carlemana-Ahlforsa

Denjoya – Carlemana – Ahlforsa stwierdza, że ​​​​liczba wartości asymptotycznych osiąganych przez niestałą funkcję całkowitą rzędu ρ na krzywych wychodzących na zewnątrz w kierunku nieskończonej wartości bezwzględnej jest mniejsza lub równa 2ρ. Po raz pierwszy wysunął to Arnaud Denjoy w 1907 r. Torsten Carleman wykazał, że liczba wartości asymptotycznych była mniejsza lub równa (5/2) ρ w 1921 r. W 1929 r. Lars Ahlfors potwierdził przypuszczenie Denjoya o 2ρ. Wreszcie w 1933 roku Carleman opublikował bardzo krótki dowód.

Użycie terminu „wartość asymptotyczna” nie oznacza, że ​​stosunek tej wartości do wartości funkcji zbliża się do 1 (jak w analizie asymptotycznej), gdy porusza się wzdłuż określonej krzywej, ale raczej, że wartość funkcji zbliża się do wartość asymptotyczna wzdłuż krzywej. Na przykład, gdy poruszamy się wzdłuż osi rzeczywistej w $z)}$ funkcja zbliża się do zera, ale iloraz $z$$\ Displaystyle 0/\$ nie idzie do 1.

Przykłady

Funkcja ${$$\ Displaystyle \ sin (z)/z,}$ 0. To samo dotyczy funkcji ale asymptota jest osiągnięta w dwóch przeciwnych kierunkach.

Przypadek, w którym liczba wartości asymptotycznych jest równa 2ρ, to całka sinusoidalna ${\ Displaystyle {\ tekst {Si}} (z) = \ int _ {0} ^ {z}{\frac {\sin \zeta }{\zeta }}\,d\zeta } ,$ funkcja rzędu 1, która zmierza do −π/2 wzdłuż osi rzeczywistej zmierzającej w kierunku ujemnej nieskończoności i do +π/ 2 w przeciwnym kierunku.

Całka funkcji za $Displaystyle a \ sin (z ^ {2}) / z + b \ sin (z ^ {2} )/z^{2}}$ jest przykładem funkcji rzędu 2 z czterema wartościami asymptotycznymi (jeśli b nie jest zerem), do której podchodzi się, gdy jeden wychodzi na zewnątrz od zera wzdłuż osi rzeczywistej i urojonej.

Bardziej ogólnie, ${\ Displaystyle f (z) = \ int _ {0} ^ {z} {\ Frac {\ sin (\ zeta ^ { \rho })}{\zeta ^{\rho }}}d\zeta ,} gdzie$ ρ jest dowolną dodatnią liczbą całkowitą, jest rzędu ρ i ma 2ρ wartości asymptotyczne.

Jest oczywiste, że twierdzenie ma zastosowanie do wielomianów tylko wtedy, gdy nie są one stałe. Stały wielomian ma 1 wartość asymptotyczną, ale jest rzędu 0.