Twierdzenie Eberharda

W matematyce, a dokładniej w kombinatoryce wielościennej , twierdzenie Eberharda częściowo charakteryzuje wielozbiory wielokątów , które mogą tworzyć ściany prostych wielościanów wypukłych . Stwierdza, że dla danej liczby trójkątów, czworoboków, pięciokątów, siedmiokątów i innych wielokątów innych niż sześciokąty istnieje wielościan wypukły z daną liczbą ścian każdego typu (i nieokreśloną liczbą ścian sześciokątnych) wtedy i tylko wtedy, gdy te liczby wielokątów są zgodne z równaniem liniowym wyprowadzonym z wielościennego wzoru Eulera .

Twierdzenie nosi imię Victora Eberharda , niewidomego niemieckiego matematyka, który opublikował je w 1888 roku w swojej rozprawie habilitacyjnej oraz w rozszerzonej formie w książce o wielościanach z 1891 roku.

Definicje i stwierdzenie

Dla dowolnego wypukłego wielościanu można zdefiniować liczby $p_ {i}$ p $,$ $\ displaystyle p_ {4}}$ p $displaystyle p_ {5}}$ itd., gdzie zlicza ściany wielościanu, które mają $boki$ . Trójwymiarowy wypukły wielościan jest definiowany jako prosty, gdy każdy wierzchołek wielościanu pokrywa się dokładnie z trzema krawędziami. W prostym wielokącie każdy wierzchołek jest incydentny z trzema kątami ścian, a każda krawędź jest incydentna z dwoma bokami ścian. Ponieważ podane są liczby kątów i boków ścian, można obliczyć trzy liczby $($ całkowitą liczbę wierzchołków), całkowitą liczbę krawędzi) i $} \displaystyle f}$ $displaystyle e$ (całkowita liczba ścian), sumując wszystkie ściany i mnożąc przez odpowiedni współczynnik:

{\ Displaystyle v = {\ Frac {1} {3}} \ suma _ {i} ja \, p_ {i},}

{\ Displaystyle e = {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {i} ja \, p_ {i},}

I

{\ displaystyle f = \ suma _ {i} p_ {i}.}

Podstawienie tych wartości do wielościennego wzoru Eulera i wyczyszczenie mianowników prowadzi do równania ${\ displaystyle ve + f = 2}$

{\ Displaystyle \ suma _ {i} (6-i) p_ {i} = 12,}

które muszą być spełnione przez liczbę twarzy każdego prostego wielościanu. Jednak na to równanie nie ma wpływu wartość (ponieważ jego mnożnik wynosi zero $)$ , a dla niektórych wyborów innych liczy się p $6-i}$ zmiana może zmienić to $ścian$ czy istnieje wielościan z tymi liczbami Oznacza to, że przestrzeganie tego równania na liczbach twarzy jest warunkiem koniecznym istnienia wielościanu, ale niewystarczającym, a pełna charakterystyka, której liczby twarzy są możliwe do zrealizowania, musiałaby uwzględniać wartość p $\ styl wyświetlania p_{6}}$ .

Twierdzenie Eberharda implikuje, że powyższe równanie jest jedynym warunkiem koniecznym, który nie zależy od ${\ displaystyle p_ {6}}$ . $_$ przypisanie _ pominięcie jest zgodne z równaniem. ${\ displaystyle p_ {6}} }$

{\ Displaystyle \ suma _ {i} (6-i) p_ {i} = 12,}

wtedy istnieje wartość $i}$ prosty wypukły wielościan z dokładnie dwustronnymi ścianami dla wszystkich $p_ {i}}$ $displaystyle$ $displaystyle$ .

Przykłady

Istnieją trzy proste bryły platońskie , czworościan , sześcian i dwunastościan . P $= 4}$ $12} , przy$ $=$ sześcian ma a dwunastościan ma ${\$ $=$ wszystkie inne wartości zero. Te trzy przypisania liczb do $.$ zgodne z równaniem, którego wymaga od nich twierdzenie Eberharda Istnienie tych wielościanów pokazuje, że dla tych trzech przypisań liczb do $}$ z ${\ displaystyle p_ {6} = 0$ . Przypadek dwunastościanu, $zera$ $wszystkimi$ innymi z , fulereny Nie ma fullerenu z, $= 1 {\$ wykresy są możliwe do zrealizowania dla dowolnej innej wartości ; $p_ {6}}$ ; patrz na przykład wykres 26-fullerenów z ${\ displaystyle p_ {6} = 3}$ .

Sześciokąt dzieli sześcian na dwie kopie prostego wielościanu z jedną sześciokątną ścianą, trzema równoramiennymi trójkątami prostokątnymi i trzema nieregularnymi pięciokątnymi ścianami. Nie jest możliwe utworzenie prostego wielościanu przy użyciu tylko trzech trójkątów i trzech pięciokątów bez dodanego sześciokąta.

Nie ma prostego wypukłego wielościanu z trzema trójkątnymi ścianami, trzema pięciokątnymi ścianami i żadnymi innymi ścianami. Oznacza to, że niemożliwe jest posiadanie prostego wypukłego wielościanu z ${\ Displaystyle p_ {3} = p_ {5} = 3}$ i ${\ displaystyle p_ {i} = 0}$ dla ${\ Displaystyle i \ notin \ {3,5 \}}$ . Jednak twierdzenie Eberharda stwierdza, że powinno być możliwe utworzenie prostego wielościanu przez dodanie pewnej liczby sześciokątów, aw tym przypadku wystarczy jeden sześciokąt: przepołowienie sześcianu na sześciokącie foremnym przechodzącym przez sześć jego ścian daje dwie kopie prostego bez dachu wielościan z trzema trójkątnymi ścianami, trzema pięciokątnymi ścianami i jedną sześciokątną ścianą. $Oznacza$ to, że ustawienie możliwej do zrealizowania kombinacji liczb twarzy.

Powiązane wyniki

Analogiczny wynik do twierdzenia Eberharda dotyczy istnienia wielościanów, w których wszystkie wierzchołki leżą dokładnie na czterech krawędziach. W tym przypadku na równanie wyprowadzone ze wzoru Eulera nie ma wpływu liczba czworoboków, a dla każdego przypisania do liczb ścian innych typów, które jest zgodne z tym równaniem, można wybrać a ${\ displaystyle p_ {4}}$ liczba czworokątów, która pozwala na zrealizowanie 4-regularnego wielościanu.

${\ displaystyle$ warunkach, co twierdzenie pierwotne, istnieje taka liczba, że wszystkie wybory większe niż równe $m}$ $m$ $displaystyle$ i mają taką samą parzystość, jak możliwe do zrealizowania za pomocą prostych wypukłych wielościanów.

Twierdzenie Davida W. Barnette'a określa dolną granicę liczby potrzebnych sześciokątów, ilekroć liczba ścian rzędu siedmiu lub wyższych wynosi co najmniej trzy. Stwierdza, że w tych przypadkach

{\ Displaystyle p_ {6} \ geq 2 + {\ Frac {p_ {3}} {2}} - {\ Frac {p_ {5}} {2}} - \ suma _ {i> 6} p_ {i }.}

W przypadku wielokątów z kilkoma pięciokątami i wieloma ścianami wysokiego rzędu ta nierówność może wymusić dowolnie dużą liczbę sześciokątów. Silniej, można go użyć do znalezienia przypisań do numerów ścian, dla których wymagana liczba sześciokątów nie może być ograniczona żadną funkcją maksymalnej liczby boków ściany.

Analogi twierdzenia Eberharda były również badane dla innych systemów twarzy i liczb niż proste wielościany wypukłe, na przykład dla grafów toroidalnych i teselacji .

Zobacz też