Twierdzenie Erdősa-Anninga

Erdősa -Anninga mówi, że nieskończona liczba punktów na płaszczyźnie może mieć wzajemne odległości całkowite tylko wtedy, gdy wszystkie punkty leżą na linii prostej . Został nazwany na cześć Paula Erdősa i Normana H. Anninga , którzy opublikowali jego dowód w 1945 roku.

Racjonalność kontra integralność

Główny artykuł: problem Erdősa-Ulama

Chociaż nie może istnieć nieskończony niewspółliniowy zbiór punktów o odległościach całkowitych, istnieją nieskończone niewspółliniowe zbiory punktów, których odległości są liczbami wymiernymi . (Wciąż nierozwiązany) problem Erdősa-Ulama pyta, czy może istnieć gęsty zbiór punktów na płaszczyźnie w racjonalnych odległościach od siebie.

Dla dowolnego skończonego zbioru S punktów w racjonalnych odległościach od siebie można znaleźć podobny zbiór punktów w całkowitych odległościach od siebie, rozszerzając S o współczynnik najmniejszego wspólnego mianownika odległości w S . Dlatego istnieją dowolnie duże skończone zbiory punktów niewspółliniowych o całkowitych odległościach od siebie. Jednak włączenie większej liczby punktów do S może spowodować wzrost współczynnika rozszerzenia, więc ta konstrukcja nie pozwala na przekształcenie nieskończonych zbiorów punktów w odległościach racjonalnych w nieskończone zbiory punktów w odległościach całkowitych.

Dowód

Aby udowodnić twierdzenie Erdősa – Anninga, warto je mocniej sformułować, podając konkretne ograniczenie liczby punktów w zbiorze z całkowitymi odległościami jako funkcją maksymalnej odległości między punktami. Mówiąc dokładniej, jeśli zbiór trzech lub ${\ Displaystyle 4 (\ delta +$ niewspółliniowych punktów ma odległości całkowite, wszystkie co najwyżej pewną liczbę , to co najwyżej $)$ punktów w odległościach całkowitych można dodać do zbioru.

${\ displaystyle d ( A, b)}$ to zobaczyć, niech , B i C będą trzema niewspółliniowymi elementami zbioru S punktów o całkowitych odległościach, wszystkie co najwyżej i niech $)$ , ${\ Displaystyle d (A, C)}$ i ${\ Displaystyle d (B, C)}$ będą trzema odległościami między tymi trzema punktami. Niech X będzie dowolnym innym członkiem S . Z nierówności trójkąta wynika, że ${\ displaystyle | d (A, X) -d (B, X) |}$ jest nieujemną liczbą całkowitą i wynosi co najwyżej ${\ displaystyle \ delta}$ . ${\ Displaystyle | d (A, X) -d (B, X) | = i}$ każdej z wartości całkowitych $równanie$ w tym miejsce punktów spełniających tworzy hiperbolę z A i B jako jej ogniskami, a X musi leżeć na jednym z nich ${\ Displaystyle \ delta +1}$ hiperbola. Przez symetryczny argument, X musi również leżeć na jednej z rodziny hiperboli, w której ogniska stanowią B i C. ${\ displaystyle \ delta + 1}$ Każda para różnych hiperboli, jedna zdefiniowana przez A i B , a druga zdefiniowana przez B i C , może przecinać się co najwyżej w czterech punktach, a każdy punkt S (w tym A , B i C ) leży w jednym z tych punktów przecięcia . Istnieją co najwyżej ${\ Displaystyle 4 (\ delta + 1) ^ {2}}$ punkty przecięcia par hiperboli, a zatem co najwyżej ${\ Displaystyle 4 (\ delta +1)^{2}}$ punktów w S .

Maksymalne zestawy punktów z całkowitymi odległościami

Alternatywnym sposobem sformułowania twierdzenia jest to, że niewspółliniowy zbiór punktów na płaszczyźnie o odległościach całkowitych można rozszerzyć jedynie poprzez dodanie skończenie wielu dodatkowych punktów, zanim nie będzie można dodać więcej punktów. Zbiór punktów o współrzędnych całkowitych i odległościach całkowitych, do których nie można dodać więcej przy zachowaniu obu właściwości, tworzy wykres Erdősa-diofantyny .

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Twierdzenie Erdosa-Anninga” . MathWorld .