Twierdzenie F. i M. Riesz

Aby zapoznać się z innymi twierdzeniami braci Riesza, zobacz twierdzenie Riesza .

W matematyce twierdzenie F. i M. Riesz jest wynikiem działań braci Frigyes Riesz i Marcel Riesz na miarach analitycznych . Stwierdza, że ​​dla miary μ na okręgu każdą część μ, która nie jest absolutnie ciągła względem miary Lebesgue'a dθ , można wykryć za pomocą współczynników Fouriera . Dokładniej, stwierdza, że ​​​​jeśli współczynniki Fouriera $Stieltjesa$ spełniają

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ mu}} _ {n} = \ int _ {0} ^ {2 \ pi}} \rm {e}}^{-in\theta}{\frac {d\mu (\theta)}{2\pi }}=0,\ }$

dla wszystkich $re$ absolutnie ciągłe względem θ

Oryginalne stwierdzenia są raczej inne (patrz Zygmund, Szeregi trygonometryczne , VII.8). Sformułowanie tutaj jest takie, jak w Walter Rudin , Real and Complex Analysis , str. 335. Podany dowód wykorzystuje jądro Poissona i istnienie wartości granicznych dla przestrzeni Hardy'ego H ¹ .

Rozszerzenia tego twierdzenia zostały dokonane przez Jamesa E. Weatherbee w jego rozprawie z 1968 r.: Niektóre rozszerzenia twierdzenia F. i M. Riesza o miarach absolutnie ciągłych .

• F. i M. Riesz, Über die Randwerte einer analytischen Funktion , Quatrième Congrès des Mathématiciens Scandinaves, Sztokholm, (1916), s. 27-44.