Twierdzenie Fernique'a

W matematyce - a konkretnie w teorii miary - twierdzenie Fernique'a jest wynikiem miar Gaussa w przestrzeniach Banacha . Rozszerza skończony wymiarowy wynik, że zmienna losowa Gaussa ma wykładnicze ogony. Wynik został udowodniony w 1970 roku przez matematyka Xaviera Fernique'a .

Oświadczenie

Niech ( X , || ||) będzie separowalną przestrzenią Banacha. Niech μ będzie środkową miarą Gaussa na X , tj. miarą prawdopodobieństwa zdefiniowaną na zbiorach borelowskich X taką, że dla każdego ograniczonego funkcjonału liniowego ℓ : X → R , miara push-forward ℓ _∗ μ zdefiniowana na zbiorach borelowskich R przez

${\ Displaystyle (\ ell _ {\ ast} \ mu) (A) = \ mu (\ ell ^ {- 1} (A) )}$

jest miarą Gaussa ( rozkład normalny ) ze średnią zerową . Wtedy istnieje α > 0 takie, że

${\ Displaystyle \ int _ {X} \ exp (\ alfa \ | x \ | ^ {2}) \ \ operatorname {d} \ mu (x) <+ \ infty.}$

A fortiori , μ (odpowiednik dowolnej zmiennej losowej G o wartości X , której prawem jest μ ) ma momenty wszystkich rzędów: dla wszystkich k ≥ 0,

${\ Displaystyle \ mathbb {E} [\ | G \ | ^ {k}] = \ int _ {X} \ | x \ | ^ {k} \ \ operatorname {d} \ mu (x) <+ \ infty.}$

• Fernique, Xavier (1970). „Intégrabilité des vecteurs gaussiens”. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série AB . 270 : A1698-A1699. MR 0266263

• Giuseppe Da Prato i Jerzy Zabczyk, Równania stochastyczne w nieskończonym wymiarze, Cambridge University Press, 1992. Twierdzenie 2.7