Twierdzenie Halperna-Läuchliego

W matematyce twierdzenie Halperna – Läuchliego jest wynikiem podziału skończonych iloczynów nieskończonych drzew . Jego pierwotnym celem było przedstawienie modelu teorii mnogości , w którym twierdzenie Boole'a o ideale pierwszym jest prawdziwe, ale aksjomat wyboru jest fałszywy. Jest często nazywany twierdzeniem Halperna – Läuchliego, ale właściwe przypisanie twierdzeniu sformułowanemu poniżej to Halpern – Läuchli – Laver – Pincus lub HLLP (nazwany na cześć Jamesa D. Halperna , Hansa Läuchli , Richarda Lavera i Davida Pincusa ), następny Milliken (1979) .

Niech re , r < ω $ciągiem$ skończenie Pozwalać

${\ Displaystyle \ bigcup _ {n \ w \ omega} \ lewo (\ prod _ {i <d} T_ { i}(n)\right)=C_{1}\cup \cdots \cup C_{r},}$

$} i}:i\in d\rangle }$ sekwencja poddrzew silnie osadzona w ${\ Displaystyle \ langle T_ {$ takie, że

${\ Displaystyle \ bigcup _ {n \ w \ omega} \ lewo (\ prod _ {i <d} S_ {i} (n) \ prawej) \ podzbiór C_ {k} {\ tekst {dla niektórych}} k \ lek r.}$

Alternatywnie, niech

${\ Displaystyle S _ {\ langle T_ {i}: i \ in d \ rangle} ^ {d} = \bigcup _{n\w \omega}\left(\prod _{i<d}T_{i}(n)\right)}$

I

${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {d} = \ bigcup _ {\ langle T_ {i}: i \ in d \ rangle} S _ {\ langle T_ {i}: i \ in d \ rangle} ^ {d }.}$ .

mówi , że zbiór jest nie tylko regularny dla każdego d < $ω , ale$ jednorodne poddrzewo gwarantowane przez twierdzenie jest osadzone w

${\ Displaystyle T = \ langle T_ {i}: ja \ w d \ rangle.}$

•   Halpern, James D.; Läuchli, Hans (1966), „Twierdzenie o podziale”, Transactions of the American Mathematical Society , 124 : 360–367, doi : 10.1090 / s0002-9947-1966-0200172-2 , MR 0200172
•   Milliken, Keith R. (1979), „Twierdzenie Ramseya dla drzew”, Journal of Combinatorial Theory , Seria A, 26 (3): 215–237, doi : 10.1016/0097-3165 (79) 90101-8 , MR 0535155
•   Milliken, Keith R. (1981), „Twierdzenie o podziale dla nieskończonych poddrzew drzewa”, Transactions of the American Mathematical Society , 263 (1): 137–148, doi : 10.1090 / s0002-9947-1981-0590416- 8 , MR 0590416
•   Pincus, Dawid; Halpern, James D. (1981), „Podziały produktów”, Transactions of the American Mathematical Society , 267 (2): 549–568, doi : 10.1090 / s0002-9947-1981-0626489-3 , MR 0626489