Twierdzenie Junga

W geometrii twierdzenie Junga jest nierównością między średnicą zbioru punktów w dowolnej przestrzeni euklidesowej a promieniem minimalnej otaczającej kuli tego zbioru. Jej nazwa pochodzi od Heinricha Junga , który jako pierwszy badał tę nierówność w 1901 roku. Istnieją również algorytmy, które jawnie rozwiązują problem najmniejszego koła .

Oświadczenie

Rozważ zestaw kompaktowy

{\ Displaystyle K \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {n}}

i pozwól

{\ Displaystyle d = \ max _ {p, q \, \ w \, K} \| pq \|_ {2}}

będzie średnicą K , czyli największą odległością euklidesową między dowolnymi dwoma jej punktami . Twierdzenie Junga stwierdza, że istnieje zamknięta kula o promieniu

{\ Displaystyle r \ równoważnik re {\ sqrt {\ Frac {n} {2 (n + 1)}}}}

który zawiera K. Brzegowy przypadek równości jest osiągany przez regularny n - sympleks .

Twierdzenie Junga na płaszczyźnie

Najczęstszym przypadkiem twierdzenia Junga jest płaszczyzna , czyli gdy n = 2. W tym przypadku twierdzenie stwierdza, że istnieje okrąg zawierający wszystkie punkty, których promień spełnia

{\ Displaystyle r \ równoważnik {\ Frac {d} {\ sqrt {3}}},}

i ta granica jest tak ścisła, jak to tylko możliwe, ponieważ kiedy K jest trójkątem równobocznym (lub jego trzema wierzchołkami), jeden ma ${\ displaystyle r = {\ frac {d} {\ sqrt {3}}}.}$

Ogólne przestrzenie metryczne

Dla dowolnego zbioru ograniczonego w dowolnej ${\ Displaystyle d/2 \ równoważnik r \ równoważnik$ metrycznej $re$ r . Pierwsza nierówność jest implikowana przez nierówność trójkąta dla środka kuli i dwóch punktów na średnicy, a druga nierówność wynika z tego, że kula o promieniu $displaystyle$ w dowolnym punkcie $S}$ będzie zawierała wszystko ${\ displaystyle S}$ . Obie te nierówności są ścisłe:

W jednolitej przestrzeni metrycznej , to znaczy w przestrzeni, w której wszystkie odległości są równe, ${\ displaystyle r = d}$ .
Na drugim końcu spektrum, w iniekcyjnej przestrzeni metrycznej , takiej jak odległość Manhattanu w płaszczyźnie, : dowolne dwie zamknięte kule o promieniu $2}$ ${\ displaystyle$ wyśrodkowane w punktach $przecięcie$ niepuste , dlatego wszystkie $}$ kule mają wspólne przecięcie i promień / piłka wyśrodkowana w punkcie tego przecięcia $zawiera$ .