Twierdzenie Knesera ( kombinatoryka )

W gałęzi matematyki zwanej kombinatoryką addytywną twierdzenie Knesera może odnosić się do jednego z kilku powiązanych twierdzeń dotyczących rozmiarów pewnych sum w grupach abelowych . Są one nazwane na cześć Martina Knesera , który opublikował je w 1953 i 1956 roku. Można je traktować jako rozszerzenia twierdzenia Cauchy'ego -Davenporta , które również dotyczy zbiorów sum w grupach, ale jest ograniczone do grup, których kolejność jest liczbą pierwszą .

Pierwsze trzy stwierdzenia dotyczą zbiorów sum, których rozmiar (w różnych znaczeniach) jest ściśle mniejszy niż suma rozmiarów sum. Ostatnie stwierdzenie dotyczy przypadku równości miary Haara w połączonych zwartych grupach abelowych.

Ścisła nierówność

Jeśli $+ C = C \}}$ grupą abelową i jest podzbiorem ${\ Displaystyle$$G$$}$ , grupa $\ displaystyle H ($$.$ g jest stabilizatorem do

Kardynalność

Niech będzie grupą $_$ . Jeśli i $_$$podzbiorami$ skończonymi $|$ _ ${\ Displaystyle | A + B | <| A | + | B|}$ i ${\ displaystyle H}$ jest stabilizatorem ${\ Displaystyle A + B}$ , a następnie ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane}|A + B|&=|A+H|+|B+H|-|H|.\koniec {wyrównane}}}$

To stwierdzenie jest konsekwencją poniższego stwierdzenia dla grup LCA, uzyskanego przez specjalizację w przypadku, gdy grupa otoczenia jest dyskretna. Samowystarczalny dowód znajduje się w podręczniku Nathansona.

Niższa gęstość asymptotyczna w liczbach naturalnych

Głównym wynikiem artykułu Knesera z 1953 roku jest wariant twierdzenia Manna o gęstości Schnirelmanna .

Jeśli $jest$ podzbiorem $\$$Displaystyle \ mathbb {N}}$ , dolna asymptotyczna z jest liczbą ${\ Displaystyle {\ podkreślenie {d}} (C): = \ liminf _ {n \ do \ infty} {\ Frac {| C \ czapka \ {1, \ kropki, n \} |} {n}} }$ . Twierdzenie Knesera dla niższej gęstości asymptotycznej stwierdza, że ​​jeśli ${\ Displaystyle {\ podkreślenie {d}} (A + B) <{\ podkreślenie {d}} (A) + {\ podkreślenie {d}} (B)} , to jest liczba$ są podzbiorami spełniającymi $\$$Displaystyle \ mathbb {N$$}$ naturalna ${\ Displaystyle k}$ takie, że ${\ Displaystyle H: = k \ mathbb {N} \ kubek \ {0 \}}$ spełnia następujące dwa warunki:

${\ Displaystyle (A + B + H) \ setminus (A + B)}$ jest skończony,

I

${\ Displaystyle {\ podkreślenie {d}} (A + B) = {\ podkreślenie {d}} (A + H) + {\ podkreślenie {d}} (B + H) - {\ podkreślenie {d}} ( H).}$

Zauważ, że ${\ Displaystyle A + B \ subseteq A + B + H}$ , ponieważ ${\ Displaystyle 0 \ w H}$ .

Miara Haara w lokalnie zwartych grupach abelowych (LCA).

Niech będzie $grupą$ LCA z miarą Haara i niech oznacza wewnętrzną miarę indukowaną przez $\ displaystyle m}$ (zakładamy również, $że$$} \displaystyle G}$$\$ to Hausdorff, jak zwykle). Jesteśmy zmuszeni wziąć pod $\$ wewnętrzną miarę Haara, ponieważ suma dwóch mierzalnych zestawów może nie być $displaystyle m}$ -wymierny. Satz 1 artykułu Knesera z 1956 roku można sformułować następująco:

Jeśli i ${\ displaystyle$$}$ są niepuste - mierzalne podzbiory spełniających ${\ Displaystyle$${\ Displaystyle m_ {*} (A + B) <m (A) + m (B)}$$b ) ZA {\ Displaystyle$ , a następnie stabilizator ${\ Displaystyle H: = H (A + B)}$ jest zwarty i otwarty. Zatem $jest$ i otwarty (a zatem $połączeniem$$,$ skończenie wielu . Ponadto ${\ Displaystyle m (A + B) = m (A + H) + m (B + H) -m (H).}$

Równość w połączonych zwartych grupach abelowych

Ponieważ połączone grupy nie mają odpowiednich otwartych podgrup, powyższe stwierdzenie natychmiast sugeruje, że jeśli ${\ Displaystyle m_ {*} (A + B) \ geq \ min \ {m (A) + m (B), m (G) \}} dla wszystkich m {\ Displaystyle$$połączone$ , to m $-mierzalne$ zbiory ${\ Displaystyle A}$ i ${\ Displaystyle B}$ . Przykłady gdzie

${\ Displaystyle m_ {*} (A + B) = m (A) + m (B) <m (G)}$

 

 

 

 

()

można znaleźć, gdy jest torusem $Displaystyle$$\ mathbb {T}: = \ mathbb {R} / \ mathbb {Z}}$ ZA $\ Displaystyle A}$ i ${\ displaystyle B}$ to interwały. Satz 2 artykułu Knesera z 1956 roku mówi, że wszystkie przykłady zbiorów spełniających równanie ( 1 ) z sumami niezerowymi są ich oczywistymi modyfikacjami. Mówiąc ściślej: jeśli $spójną$ zwartą grupą abelową z miarą Haara ${\ Displaystyle m,} ZA$${\ Displaystyle A}$ b $\ Displaystyle B}$ są ${\ Displaystyle m}$ -mierzalne podzbiory sol $\ Displaystyle G}$ satysfakcjonujące ${ \displaystyle m(A)>0,m(B)>0}$ , i równanie ( 1 ), to istnieje ciągły suriekcyjny homomorfizm ${\ Displaystyle \ phi: G \ do \ mathbb {T}}$${\ Displaystyle A \ subseteq \ phi ^ {- 1} (ja)}$ istnieją zamknięte interwały w $mathbb$ { $\$${T}}$ takie, że - , ${\ Displaystyle B \ subseteq \ phi ^ {- 1} (J)}$ , ${\ Displaystyle m (A) = m (\ fi ^ {- 1} (ja))}$ i ${\ Displaystyle m(B)=m(\fi ^{-1}(J))}$ .

Notatki

•    Geroldinger, Alfred; Ruzsa, Imre Z. , wyd. (2009). Kombinatoryczna teoria liczb i addytywna teoria grup . Zaawansowane kursy matematyki CRM Barcelona. Elsholtz, C.; Freiman, G.; Hamidoune, Yo; Hegyvári, N.; Károlyi, G.; Nathanson, M.; Solymosi, J .; Stanchescu, Y. Z przedmową Javiera Cilleruelo, Marca Noya i Oriol Serra (koordynatorów DocCourse). Bazylea: Birkäuser. ISBN 978-3-7643-8961-1 . Zbl 1177.11005 .
•    Grynkiewicz, Dawid (2013). Teoria dodatków strukturalnych . Rozwój matematyki . Tom. 30. Springera . P. 61. ISBN 978-3-319-00415-0 . Zbl 1368.11109 .
•    Tao, Terencjusz ; Vu, Van H. (2010), Kombinatoryka addytywna , Cambridge : Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-13656-3 , Zbl 1179.11002