Twierdzenie Knesera (równania różniczkowe)

W matematyce twierdzenie Knesera może odnosić się do dwóch różnych twierdzeń w dziedzinie równań różniczkowych zwyczajnych :

• pierwszy, nazwany na cześć Adolfa Knesera , dostarcza kryteriów decydujących o tym, czy równanie różniczkowe jest oscylujące , czy nie;
• drugi, nazwany na cześć Hellmutha Knesera , dotyczy topologii zbioru wszystkich rozwiązań problemu wartości początkowej z ciągłą prawą stroną.

Sformułowanie twierdzenia A. Knesera

Rozważ zwykłe liniowe jednorodne równanie różniczkowe postaci

${\ Displaystyle y '' + q (x) y = 0}$

z

${\ Displaystyle q: [0, + \ infty) \ do \ mathbb {R}}$

ciągły . Mówimy, że to równanie jest oscylujące, jeśli ma rozwiązanie y z nieskończenie wieloma zerami, a nieoscylujące w przeciwnym razie.

Twierdzenie stwierdza, że ​​równanie nie jest oscylujące, jeśli

${\ Displaystyle \ limsup _ {x \ do + \ infty} x ^ {2} q (x) <{\ tfrac {1} {4}}}$

i oscylujące, jeśli

${\ Displaystyle \ liminf _ {x \ do + \ infty} x ^ {2} q (x)> {\ tfrac {1} {4}}.}$

Przykład

Aby zilustrować twierdzenie, rozważmy

${\ Displaystyle q (x) = \ lewo ({\ Frac {1} {4}} -a \ prawej) x ^ {- 2} \ quad {\text{for}}\quad x>0}$

gdzie $rzeczywista$ i różna od zera. Zgodnie z twierdzeniem, rozwiązania będą oscylować lub nie, w zależności od tego, czy $\ displaystyle a}$ dodatnie (nie oscylujące), czy ujemne (oscylujące), ponieważ za {

${\ Displaystyle \ limsup _ {x \ do + \ infty} x ^ {2} q (x)=\liminf _{x\to +\infty}x^{2}q(x)={\frac {1}{4}}-a}$

Aby znaleźć rozwiązania dla tego wyboru $twierdzenie$ dla tego przykładu, zastąp „

${\ Displaystyle y (x) = x ^ {n}}$

co daje

${\ Displaystyle n (n-1) + {\ Frac {1} {4}} -a = \ lewo (n- {\frac {1}{2}}\right)^{2}-a=0}$

Oznacza to, że (dla wartości niezerowych $ogólnym$ rozwiązaniem jest

${\ Displaystyle y (x) = Ax ^ {{\ Frac {1} {2}} + {\ sqrt {a}}} + Bx ^{{\frac {1}{2}}-{\sqrt {a}}}}$

gdzie i $są$$_$ .

Nietrudno zauważyć, że dla dodatniego $rozwiązania$ oscylują, podczas gdy dla ujemnego tożsamość za ${\ Displaystyle a = - \ omega ^ {2}$

${\ Displaystyle x ^ {{\ Frac {1 }{2}}\pm i\omega }={\sqrt {x}}\ e^{\pm (i\omega)\ln {x}}={\sqrt {x}}\ (\cos {( \omega \ln x)}\pm i\sin {(\omega \ln x)})}$

pokazuje, że tak.

Ogólny wynik wynika z tego przykładu z twierdzenia o porównaniu Sturma – Picone .

Rozszerzenia

Istnieje wiele rozszerzeń tego wyniku, takich jak kryterium Gesztesy-Ünal.

Sformułowanie twierdzenia H. Knesera

Podczas gdy twierdzenie Peano o istnieniu gwarantuje istnienie rozwiązań pewnych problemów z wartościami początkowymi o ciągłej prawej stronie, twierdzenie H. Knesera dotyczy topologii zbioru tych rozwiązań. Dokładniej, twierdzenie H. Knesera stwierdza, co następuje:

Niech ${\ Displaystyle f (t, x): R \ razy R ^ {n} \ strzałka w prawo R ^ {n}}$ będzie funkcją ciągłą w obszarze ${\ Displaystyle {\ mathcal {R}} = [t_ {0}, t_ {0} + a] \ razy \ {x \ w \ mathbb {R} ^ {n}: | x-x_ {0} |\ leq b\}}$ i takie, że ${\ Displaystyle | f (t, x) | \ równoważnik M}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle (t, x) \ w {\ mathcal {R}}}$ .

Biorąc pod uwagę liczbę rzeczywistą $satysfakcjonującą$ t ${\ Displaystyle t_ {0}<c \ leq t_ {0} + \ min (a, b /$ , zdefiniuj zbiór jako zbiór punktów, ${\ Displaystyle x = x (t )}$ których istnieje rozwiązanie $c}}$$Displaystyle x_$ z ${\ Displaystyle {\ kropka {x}} = f (t, x)}$ takie, że ${\ Displaystyle x (t_ {0}) = x_ {0} }$ i ${\ Displaystyle x (c) = x_ {c}}$ . Zbiór $zbiorem$ i połączonym.