Twierdzenie Kramersa

W mechanice kwantowej twierdzenie Kramersa o degeneracji stwierdza, że dla każdego stanu własnego energii symetrycznego układu z odwróceniem czasu z całkowitym spinem półcałkowitym istnieje inny stan własny o tej samej energii, powiązany z odwróceniem czasu. Innymi słowy, degeneracja każdego poziomu energii jest liczbą parzystą, jeśli ma spin półcałkowity. Twierdzenie nosi imię holenderskiego fizyka HA Kramersa .

W fizyce teoretycznej symetria odwrócenia czasu jest symetrią praw fizycznych w ramach transformacji odwrócenia czasu:

{\ Displaystyle T: t \ mapsto -t.}

, jeśli operator Hamiltona dojeżdża do pracy z operatorem odwrócenia czasu

{\ Displaystyle [H, T] = 0,}

wtedy dla każdego stanu własnego energii ${\ Displaystyle | n \ rangle}$ , czas odwrócony stan ${\ Displaystyle T | n \ rangle}$ jest również stanem własnym o tej samej energii. Te dwa stany są czasami nazywane parą Kramersa . Ogólnie rzecz biorąc, ten stan odwrócony w czasie może być identyczny z pierwotnym, ale nie jest to możliwe w systemie o wirowaniu półcałkowitym: ponieważ odwrócenie czasu odwraca wszystkie momenty pędu, odwrócenie spinu o połowę liczby całkowitej nie może dać tego samego stanu ( magnetyczna liczba kwantowa nigdy nie wynosi zero).

Twierdzenie matematyczne i dowód

W mechanice kwantowej operacja odwrócenia czasu jest reprezentowana przez operatora antyjednostkowego działającego na przestrzeni Hilberta ${\ textstyle T: {\ mathcal {H}} \ do {\ mathcal {H}$ $}$ . Jeśli zdarzy się, że ${\textstyle T^{2}=-1}$ , to mamy następujące proste twierdzenie:

Twierdzenie. Jeśli ${\ textstyle T: {\ mathcal {H}} \ do {\ mathcal {H}}} jest$ operatorem antyjednostkowym działającym na przestrzeni Hilberta ${\ textstyle {\ mathcal {H}}}$ satysfakcjonującym ${\ textstyle T ^ {2} = -1}$ i ${\ textstyle v}$ wektor w ${\ textstyle {\ mathcal {H}}}$ , to jest ortogonalny ${\ textstyle Tv}$ do ${\ textstyle v}$ .

Dowód. ${\ textstyle \ langle Tu, Tw \ rangle = \ langle w, u \ rangle}$ ⟨ , gdzie ${\ textstyle u$ i ${\ textstyle w}$ są wektorami w ${\ textstyle {\ mathcal {H}}}$ . Zastępowanie ${\ textstyle u = Tv}$ i ${\ textstyle w = v}$ $i$ używając $-\langle v,Tv\rangle =\langle T^{2}v,Tv\rangle =\langle v,Tv\rangle ,} co$ otrzymujemy $2$ implikuje, że ${\ textstyle \ langle v, Tv \ rangle = 0}$ .

W konsekwencji, jeśli hamiltonian jest symetryczny z odwróceniem $}$ , tj. dojeżdża z , to wszystkie jego przestrzenie własne energii mają nawet degenerację, ponieważ zastosowanie do dowolnego stanu własnego energii ${\$ $T$ ${\ textstyle | n \ rangle}$ daje inny stan własny energii ${\ textstyle T | n \ rangle}$ , który jest ortogonalny do pierwszego. Właściwość ortogonalności jest kluczowa, ponieważ oznacza, że dwa stany własne ${\ textstyle | n \ rangle}$ i ${\ textstyle T | n \ rangle}$ reprezentują różne stany fizyczne. Jeśli przeciwnie, byłyby w tym samym stanie fizycznym, to ${\ Displaystyle T | n \ rangle = e ^ {i \ alfa} | n \ rangle}$ dla kąta ${\ Displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}$ , co oznaczałoby

{\ Displaystyle T ^ {2} | n \ rangle = T (e ^ {i \ alfa} | n \ rangle) = e ^ {-i \ alfa} e ^ {i \ alfa} | n \ rangle = +\,|n\rangle }

Aby uzupełnić twierdzenie Kramersa o degeneracji, musimy tylko udowodnić, że operator odwrócenia czasu $spinie$ na pół-nieparzystej liczby całkowitej przestrzeń Hilberta spełnia ${\ textstyle T ^ {2} = - 1}$ . Wynika to z faktu, że operator spinu reprezentuje rodzaj momentu pędu $i$ jako taki powinien odwrócić kierunek pod: $displaystyle T}$ \

{\ Displaystyle \ mathbf {S} \ do T ^ {- 1} \ mathbf {S} T = - \ mathbf {S}.}

Konkretnie, operator $właściwość,$ jest zwykle zapisywany jako

{\ Displaystyle T = e ^ {-i \ pi S_ {y}} K}

gdzie ${\ textstyle S_ {y}}$ jest operatorem spinu w kierunku ${\ textstyle y}$ $i jest$ mapą koniugacji na podstawie spinu ${\ textstyle S_ {z}}$ .

Ponieważ ${\ textstyle iS_ {2}}$ ma rzeczywiste składniki macierzy na podstawie, to ${\ displaystyle S_ {z}}$

{\ Displaystyle T ^ {2} = e ^ {-i \ pi S_ {y}} Ke ^ {-i \ pi S_ {y}} K = e ^ {-i2 \ pi S_ {y}} K ^ { 2}=(-1)^{2S}.}

Stąd dla pół-nieparzystych spinów całkowitych ${\ textstyle S = {\ Frac {1}{2}}, {\ Frac {3}{2}}, \ ldots}$ , my mieć ${\ textstyle T ^ {2} = -1}$ . Jest to ten sam znak minus, który pojawia się $,$ gdy wykonuje się pełny w systemach z pół-nieparzystymi spinami całkowitymi , jak fermiony .

Konsekwencje

Poziomy energetyczne układu z nieparzystą całkowitą liczbą fermionów (takich jak elektrony , protony i neutrony ) pozostają co najmniej podwójnie zdegenerowane w obecności pól czysto elektrycznych (tj. bez zewnętrznych pól magnetycznych ). Po raz pierwszy została odkryta w 1930 roku przez HA Kramersa jako konsekwencja równania Breita . Jak wykazał Eugene Wigner w 1932 r., jest to konsekwencja niezmienniczości odwrócenia czasu pól elektrycznych i wynika z zastosowania antyjednostkowego operatora T do funkcji falowej nieparzystej liczby fermionów. Twierdzenie jest ważne dla dowolnej konfiguracji statycznych lub zmiennych w czasie pól elektrycznych.

Na przykład atom wodoru (H) zawiera jeden proton i jeden elektron, więc twierdzenie Kramersa nie ma zastosowania. Rzeczywiście, najniższy (nadsubtelny) poziom energii H nie jest zdegenerowany, chociaż ogólny system może mieć degenerację z innych powodów. deuteru (D) zawiera dodatkowy neutron, więc całkowita liczba fermionów wynosi trzy, a twierdzenie ma zastosowanie . Stan podstawowy D zawiera dwa składowe nadsubtelne, które są podwójnie i czterokrotnie zdegenerowane.

Zobacz też