Operator antyjednostkowy

W matematyce transformacja antyjednostkowa jest bijektywną mapą antyliniową

{\ Displaystyle U: H_ {1} \ do H_ {2} \,}

między dwiema zespolonymi przestrzeniami Hilberta takimi, że

{\ Displaystyle \ langle Ux, Uy \ rangle = {\ overline {\ langle x, y \ rangle}}}

dla wszystkich $wszystkich$ dla $,$ gdzie poziomy $reprezentuje$ złożony . Jeśli $,$ $jeden$ to . _ _

Operatory antyjednostkowe są ważne w teorii kwantowej, ponieważ są używane do reprezentowania pewnych symetrii, takich jak odwrócenie czasu . Ich fundamentalne znaczenie w fizyce kwantowej dodatkowo potwierdza twierdzenie Wignera .

Transformacje niezmiennicze

W mechanice kwantowej transformacje niezmienniczości złożonej przestrzeni Hilberta pozostawiają niezmienną wartość bezwzględną iloczynu skalarnego: ${\ displaystyle H}$

{\ Displaystyle |\ langle Tx, Ty \ rangle |=|\ langle x, y \ rangle |}

dla wszystkich i ${$ $\ displaystyle y}$ w $\ displaystyle H}$ .

Ze względu na twierdzenie Wignera przekształcenia te mogą być albo jednostkowe , albo antyjednostkowe.

Interpretacja geometryczna

Kongruencje płaszczyzny tworzą dwie odrębne klasy. Pierwszy zachowuje orientację i jest generowany przez translacje i obroty. Druga nie zachowuje orientacji i jest uzyskiwana z pierwszej klasy poprzez zastosowanie odbicia. Na płaszczyźnie zespolonej te dwie klasy odpowiadają (aż do translacji) odpowiednio jednostkom i antyunitariom.

Nieruchomości

$}$ ${\ Displaystyle \ langle Ux, Uy \ rangle = {\ overline {\ langle x, y \ rangle}} = \ langle y, x$ $i$ $rangle$ dotyczy wszystkich przestrzeni Hilberta
Kiedy $jest$ $,$ to jednolity Wynika to z ${\ Displaystyle \ lewo \ langle U ^ {2} x, U ^ {2} y \ prawo \ rangle = {\ overline {\ langle Ux, Uy \ rangle}} = \ langle x, y \ rangle.}$
$Dla$ operatora unitarnego $jest$ , gdzie jest $,$ operatorem sprzężonym Odwrotność jest również prawdziwa $jednolity$ $jest$ operator .
W przypadku antyjednostkowego definicja operatora sprzężonego zostaje zmieniona, aby $}$ złożoną koniugację, stając się U $displaystyle$ ${\ Displaystyle \ langle Ux, y \ rangle = {\ overline {\ lewo \ langle x, U ^ {*} y \ prawo \ rangle}}.}$
$antyjednostkowe$ antyjednostkowego jest również i ${\ Displaystyle UU ^ {*} = U ^ {*} U = 1.}$ (Nie należy tego mylić z definicją operatorów unitarnych , ponieważ operator antyjednostkowy $.$ jest złożony liniowo)

Przykłady

Złożony $_$ $antyjednostkowym$ _
Operator ${\ Displaystyle U = i \ sigma _ {y} K = {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i 1 \\ - 1 i 0 \ koniec {pmatrix}} K,}$ gdzie $jest$ drugą $macierzą$ Pauliego i jest złożonym operatorem koniugatu, Spełnia ${\ Displaystyle U ^ {2} = -1}$ .

Rozkład operatora antyjednostkowego na prostą sumę elementarnych antyjednostek Wignera

Operator antyjednostkowy w przestrzeni o skończonych wymiarach można rozłożyć jako bezpośrednią sumę elementarnych antyjednostek Wignera ${\ Displaystyle W _ {\ theta}}$ , ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik \ teta \ równoważnik \ pi}$ . Operator ${\ Displaystyle W_ {0}: \ mathbb {C} \ do \ mathbb {C}}$ jest po prostu prostą złożoną koniugacją na ${\ displaystyle \ mathbb {C}$

{\ Displaystyle W_ {0} (z) = {\ overline {z}}}

Dla $.$ $_$ złożonej _ Jest określony przez

{\ Displaystyle W _ {\ teta} \ lewo (\ lewo (z_ {1}, z_ {2} \ prawej) \ prawej) = \ lewo (e ^ {{\ Frac {i} {2}} \ teta} { \overline {z_{2}}},\;e^{-{\frac {i}{2}}\theta }{\overline {z_{1}}}\right).}

Zauważ, że dla ${\ Displaystyle 0 <\ theta \ równoważnik \ pi}$

{\ Displaystyle W _ {\ teta} \ lewo (W_ {\ teta} \ lewo ( \left(z_{1},z_{2}\right)\right)\right)=\left(e^{i\theta }z_{1},e^{-i\theta }z_{2}\ Prawidłowy),}

więc takie $są$ $być$ , dalej rozkładane na kwadratowe do mapy tożsamości.

Należy zauważyć, że powyższy rozkład operatorów antyjednostkowych kontrastuje z rozkładem widmowym operatorów unitarnych. W szczególności operator unitarny na zespolonej przestrzeni Hilberta można rozłożyć na bezpośrednią sumę unitarnych działających na 1-wymiarowych przestrzeniach zespolonych (przestrzeniach własnych), ale operator antyjednostkowy można rozłożyć tylko na bezpośrednią sumę operatorów elementarnych na 1- i Dwuwymiarowe przestrzenie zespolone.

^ Peskin, Michael Edward (2019). Wprowadzenie do kwantowej teorii pola . Daniel V. Schroeder. Boca Raton. ISBN 978-0-201-50397-5 . OCLC 1101381398 .

Wigner, E. „Normal Form of Antiunitary Operators”, Journal of Mathematical Physics, tom 1, nr 5, 1960, s. 409–412
Wigner, E. „Fenomenologiczne rozróżnienie między unitarnymi i antyunitarnymi operatorami symetrii”, Journal of Mathematical Physics, tom 1, nr 5, 1960, s. 414–416

Zobacz też

[1] Peskin, Michael Edward (2019). Wprowadzenie do kwantowej teorii pola . Daniel V. Schroeder. Boca Raton. ISBN 978-0-201-50397-5 . OCLC 1101381398 .