Twierdzenie Lafforgue'a
W matematyce twierdzenie Lafforgue'a , dzięki Laurentowi Lafforgue'owi , uzupełnia program Langlandsa dla ogólnych grup liniowych na algebraicznych polach funkcyjnych , podając zgodność między formami automorficznymi na tych grupach a reprezentacjami grup Galois .
Hipotezy Langlandsa zostały wprowadzone przez Langlandsa ( 1967 , 1970 ) i opisują zgodność między reprezentacjami grupy Weila algebraicznego ciała funkcyjnego i reprezentacjami grup algebraicznych w polu funkcyjnym, uogólniając klasową teorię pól funkcyjnych od abelowych grup Galois do nie -abelowe grupy Galois.
Przypuszczenia Langlandsa dla GL 1
Przypuszczenia Langlandsa dla GL 1 ( K ) wynikają (i są zasadniczo równoważne) z teorii pola klas . Dokładniej mapa Artina daje mapę od bezczynnej grupy klasowej do abelianizacji grupy Weila.
Automorficzne reprezentacje GL n ( F )
Reprezentacje GL n ( F ) pojawiające się w korespondencji Langlandsa są reprezentacjami automorficznymi.
Twierdzenie Lafforgue'a dla GL n ( F )
Tutaj F jest polem globalnym o pewnej dodatniej charakterystyce p , a ℓ jest pewną liczbą pierwszą różną od p .
Twierdzenie Lafforgue'a mówi, że istnieje bijekcja σ między:
- Klasy równoważności reprezentacji kłowych π z GL n ( F ) i
- Klasy równoważności nieredukowalnych reprezentacji ℓ-adycznych σ (π) wymiaru n absolutnej grupy Galois F
który zachowuje funkcję L w każdym miejscu F .
Dowód twierdzenia Lafforgue'a polega na skonstruowaniu reprezentacji σ(π) absolutnej grupy Galois dla każdej reprezentacji kłowej π. Ideą tego jest przyjrzenie się ℓ-adycznej kohomologii stosu modułów shtuków rangi n , które mają kompatybilne struktury poziomu N dla wszystkich N . Kohomologia zawiera podilorazy postaci
- π⊗σ(π)⊗σ(π) ∨
którego można użyć do skonstruowania σ (π) z π. Głównym problemem jest to, że stos modułów nie jest typu skończonego, co oznacza, że istnieją ogromne trudności techniczne w badaniu jego kohomologii.
Aplikacje
Twierdzenie Lafforgue'a implikuje przypuszczenie Ramanujana-Peterssona, że jeśli forma automorficzna dla GL n ( F ) ma charakter centralny skończonego rzędu, to odpowiednie wartości własne Hecke'a w każdym nierozgałęzionym miejscu mają wartość bezwzględną 1.
Twierdzenie Lafforgue'a implikuje przypuszczenie Deligne'a (1980 , 1.2.10), że nieredukowalna, skończenie wymiarowa l -adyczna reprezentacja absolutnej grupy Galois o determinantach skończonego rzędu jest czysta o wadze 0.
Zobacz też
- Borel, Armand (1979), „Automorficzne funkcje L” , w: Borel, Armand ; Casselman, W. (red.), Formy automorficzne, reprezentacje i funkcje L (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), część 2, Proc . sympozja. Czysta matematyka, tom. XXXIII, Providence, RI: American Mathematical Society , s. 27–61, ISBN 978-0-8218-1437-6 , MR 0546608
- Deligne, Pierre (1980), "La conjecture de Weil. II" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 52 (52): 137–252, doi : 10.1007/BF02684780 , ISSN 1618-1913 , MR 0601520 , S2CID 1897694 69
- Gelfand, IM; Graev, MI; Pyatetskii-Shapiro, II (1969) [1966], Teoria reprezentacji i funkcje automorficzne , Funkcje uogólnione, tom. 6, Filadelfia, Pensylwania: WB Saunders Co., ISBN 978-0-12-279506-0 , MR 0220673
- Lafforgue, Laurent (1998), „Chtoucas de Drinfeld et Applications” [Drinfelʹd shtukas and application], Documenta Mathematica (po francusku), II : 563–570, ISSN 1431-0635 , MR 1648105
- Lafforgue, Laurent (2002), „Chtoucas de Drinfeld, formuła śladów d'Arthura-Selberga i korespondencja Langlands”. (Drinfeld shtukas, formuła śledzenia Arthura-Selberga i korespondencja Langlandsa) Proceedings of the International Congress of Mathematicians, tom. I (Pekin, 2002), 383–400, wyd. Prasa, Pekin, 2002.
- Jacquet, H.; Langlands, Robert P. (1970), Automorficzne formy na GL (2) , Lecture Notes in Mathematics, tom. 114, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0058988 , ISBN 978-3-540-04903-6 , MR 0401654
- Langlands, Robert (1967), List do prof. Weila
- Langlands, RP (1970), „Problemy z teorii form automorficznych” , Wykłady z nowoczesnej analizy i zastosowań, III , Notatki z wykładów z matematyki, tom. 170, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , s. 18–61, doi : 10.1007/BFb0079065 , ISBN 978-3-540-05284-5 , MR 0302614
- Gérard Laumon (2002), „Praca Laurenta Lafforgue” , Proceedings of the ICM, Pekin 2002, tom. 1, 91–97,
- G. Laumon (2000), „La korespondencja de Langlands sur les corps de fonctions (d'après Laurent Lafforgue)” (Korespondencja Langlands nad polami funkcyjnymi (według Laurenta Lafforgue)), Séminaire Bourbaki, 52e année, 1999–2000, NIE. 873.