Twierdzenie Lee-Yanga

W mechanice statystycznej twierdzenie Lee-Yanga stwierdza, że ​​jeśli funkcje podziału pewnych modeli w statystycznej teorii pola z oddziaływaniami ferromagnetycznymi są uważane za funkcje pola zewnętrznego, to wszystkie zera są czysto urojone (lub na okręgu jednostkowym po zmianie zmiennej ). Pierwsza wersja została udowodniona dla modelu Isinga przez TD Lee i CN Yang ( 1952 ) ( Lee i Yang 1952 ). Ich wynik został później rozszerzony przez kilka osób na bardziej ogólne modele. Asano w 1970 roku rozszerzył twierdzenie Lee-Yanga na model Heisenberga i dostarczył prostszego dowodu za pomocą skurczów Asano . Simon i Griffiths (1973) rozszerzyli twierdzenie Lee-Yanga na pewne ciągłe rozkłady prawdopodobieństwa, aproksymując je superpozycją modeli Isinga. Newman (1974) podał ogólne twierdzenie stwierdzające z grubsza, że ​​twierdzenie Lee-Yanga zachodzi dla interakcji ferromagnetycznych, pod warunkiem, że zachodzi dla interakcji zerowej. Lieb i Sokal (1981) uogólnili Wynik Newmana z miar na R do miar na wielowymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Pojawiły się spekulacje na temat związku między twierdzeniem Lee-Yanga a hipotezą Riemanna dotyczącą funkcji zeta Riemanna ; patrz ( Knauf 1999 ).

Oświadczenie

Czynności wstępne

Wzdłuż formalizacji w Newman (1974) hamiltonian jest podany przez

$\ suma J_ {jk} S_ {j} S_ {k} - \ suma z_ {j} S_ {j}}$

gdzie S _j to zmienne spinowe, z _j pole zewnętrzne. Mówimy, _że system jest ferromagnetyczny , jeśli wszystkie współczynniki w wyrazie interakcji Jjk są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi.

Funkcja podziału jest dana przez

${\ Displaystyle Z = \ int e ^ {-H} d \ mu _ {1} (S_ {1}) \ cdots d \mu _{N}(S_{N})}$

gdzie każdy dμ _j jest parzystą miarą na liczbach rzeczywistych R malejących w nieskończoności tak szybko, że wszystkie funkcje Gaussa są całkowalne, tj.

${\ Displaystyle \ int e ^ {bS ^ {2}} d | \ mu _ {j} (S) | <\ infty, \, \ forall b \ in \ mathbb {R}.}$

Mówi się, że szybko malejąca miara liczb rzeczywistych ma właściwość Lee-Yanga, jeśli wszystkie zera jej transformaty Fouriera są rzeczywiste, jak poniżej.

${\ Displaystyle \ int e ^ {hS} d \ mu _ {j} (S) \neq 0,\,\forall h\in \mathbb {H} _{+}:=\{z\in \mathbb {C} \mid \Re (z)>0\}}$

Twierdzenie

Lee -Yanga stwierdza , że ​​jeśli hamiltonian jest ferromagnetykiem i wszystkie miary dμ _j mają własność Lee-Yanga, a wszystkie liczby z _j mają dodatnią część rzeczywistą, to funkcja podziału jest różna od zera.

${\ Displaystyle Z (\ {z_ {j} \}) \ neq 0, \, \ forall z_ {j} \ w \ mathbb {H} _ { +}}$

W szczególności, jeśli wszystkie liczby z _j są równe pewnej liczbie z , to wszystkie zera funkcji podziału (rozważanej jako funkcja z ) są urojone.

W oryginalnym przypadku modelu Isinga, rozważanym przez Lee i Yanga, wszystkie miary mają wsparcie w zbiorze 2-punktowym −1, 1, więc funkcję podziału można uznać za funkcję zmiennej ρ = e ^{π z} . Przy tej zmianie zmiennej twierdzenie Lee-Yanga mówi, że wszystkie zera ρ leżą na okręgu jednostkowym.

Przykłady

Niektóre przykłady miar z właściwością Lee – Yang to:

• Miara modelu Isinga, który ma wsparcie składające się z dwóch punktów (zwykle 1 i -1), każdy o wadze 1/2. Jest to oryginalny przypadek rozważany przez Lee i Yanga.
• Rozkład spinu n /2, którego podpora ma n +1 równo rozmieszczonych punktów, każdy o wadze 1/( n + 1). Jest to uogólnienie przypadku modelu Isinga.
• Gęstość miary równomiernie rozłożona między -1 a 1.
• Gęstość ${\ Displaystyle \ exp (- \ lambda \ cosh (S)) \, dS}$
• Gęstość ${\ Displaystyle \ exp (- \ lambda S ^ {4} -bS ^ {2}) \, dS}$ dla dodatniego λ i rzeczywistego b . Odpowiada to ( φ ⁴ ) ₂ Euklidesowej kwantowej teorii pola.
• Gęstość ${\ Displaystyle \ exp (- \ lambda S ^ {6} -aS ^ {4} -bS ^ {2}) \, dS }$ dla dodatniego λ nie zawsze ma właściwość Lee-Yanga.
• Jeśli dμ ma właściwość Lee-Yanga, to samo exp( bS ² ) dμ dla dowolnego dodatniego b .
• Jeśli dμ ma właściwość Lee-Yanga, to samo Q ( S ) dμ ma dowolny parzysty wielomian Q , którego wszystkie zera są urojone.
• Splot dwóch miar z własnością Lee-Yang ma również własność Lee-Yang.

Zobacz też

• Teoria Lee-Yanga

•    Itzykson, Claude; Drouffe, Jean-Michel (1989), Statystyczna teoria pola. Tom. 1 , Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-34058-8 , MR 1175176
•     Knauf, Andreas (1999), „Teoria liczb, systemy dynamiczne i mechanika statystyczna”, Recenzje z fizyki matematycznej , 11 (8): 1027–1060, Bibcode : 1999RvMaP..11.1027K , CiteSeerX 10.1.1.184.8685 , doi : 10,1142 /S0129055X99000325 , ISSN 0129-055X , MR 1714352
•   Lee, TD; Yang, CN (1952), „Statystyczna teoria równań przemian stanu i faz. II. Gaz kratowy i model Isinga”, Physical Review , 87 (3): 410–419, Bibcode : 1952PhRv… 87..410L , doi : 10.1103/PhysRev.87.410 , ISSN 0031-9007
•     Lieb, Elliott H.; Sokal, Alan D. (1981), „Ogólne twierdzenie Lee-Yanga dla jednoskładnikowych i wieloskładnikowych ferromagnesów” , Communications in Mathematical Physics , 80 (2): 153–179, Bibcode : 1981CMaPh..80..153L , doi : 10.1007/BF01213009 , ISSN 0010-3616 , MR 0623156 , S2CID 59332042
•    Newman, Charles M. (1974), „Zera funkcji podziału dla uogólnionych systemów Isinga”, Communications on Pure and Applied Mathematics , 27 (2): 143–159, doi : 10.1002/cpa.3160270203 , ISSN 0010-3640 , MR 0484184
•      Szymon Barry ; Griffiths, Robert B. (1973), „Teoria pola (φ ⁴ ) ₂ jako klasyczny model Isinga” , Communications in Mathematical Physics , 33 (2): 145–164, Bibcode : 1973CMaPh..33..145S , CiteSeerX 10.1.1.210.9639 , doi : 10.1007/BF01645626 , ISSN 0010-3616 , MR 0428998 , S2CID 123201243
•   Yang, CN; Lee, TD (1952), „Statystyczna teoria równań stanów i przejść fazowych. I. Teoria kondensacji”, Physical Review , 87 (3): 404–409, Bibcode : 1952PhRv...87..404Y , doi : 10.1103/PhysRev.87.404 , ISSN 0031-9007