Twierdzenie Levitzky'ego

W matematyce , a dokładniej w teorii pierścieni i teorii ideałów zerowych , twierdzenie Levitzky'ego , nazwane na cześć Jacoba Levitzkiego , stwierdza, że ​​w prawym pierścieniu Noetherowskim każdy zerowy jednostronny ideał jest z konieczności nilpotentny . Twierdzenie Levitzky'ego jest jednym z wielu wyników sugerujących prawdziwość hipotezy Köthe i rzeczywiście dostarczyło rozwiązania jednego z pytań Köthe, jak opisano w ( Levitzki 1945 ). Wynik został pierwotnie przedstawiony w 1939 roku jako ( Levitzki 1950 ), a szczególnie prosty dowód podano w ( Utumi 1963 ).

Dowód

To jest argument Utumi, jak pojawia się w ( Lam 2001 , s. 164-165)

Lemat

Załóżmy, że R spełnia warunek łańcucha rosnącego na anihilatorach postaci ${\ Displaystyle \ {r \ w R \ mid ar = 0 \}}$ gdzie a jest w R . Następnie

1. Każdy zerowy jednostronny ideał jest zawarty w niższym rodniku zerowym Nil _* ( R );
2. Każdy niezerowy prawy ideał nil zawiera niezerowy nilpotent prawy ideał.
3. Każdy niezerowy lewy ideał nilpotentny zawiera niezerowy lewy ideał nilpotentny.

Twierdzenie Levitzkiego

Niech R będzie prawym pierścieniem noetherowskim. Wtedy każdy zerowy jednostronny ideał R jest nilpotentny. W tym przypadku górne i dolne nilrodniki są równe, a ponadto ten ideał jest największym nilpotentnym ideałem wśród nilpotentnych prawicowych ideałów i wśród nilpotentnych lewych ideałów.

Dowód : W świetle poprzedniego lematu wystarczy pokazać, że dolny nilrodnik R jest nilpotentny. Ponieważ R jest właściwym noetherowskim, istnieje maksymalny ideał nilpotentny N. Przez maksymalizację N , pierścień ilorazowy R / N nie ma niezerowych ideałów nilpotentnych, więc R / N jest pierścieniem półpierwszym . W rezultacie N zawiera niższy nilrodnik R . Ponieważ niższy nilradical zawiera wszystkie nilpotentne ideały, zawiera również N , więc N jest równe dolnemu rodnikowi nilowemu. CO BYŁO DO OKAZANIA

Zobacz też

• Nilpotentny ideał
• Przypuszczenie Köthe'go
• radykał Jacobsona

Notatki

•   Isaacs, I. Martin (1993), Algebra, kurs podyplomowy (wyd. 1), Brooks / Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
•   Herstein, IN (1968), pierścienie nieprzemienne (wyd. 1), The Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-015-X
•   Lam, TY (2001), pierwszy kurs pierścieni nieprzemiennych , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95183-6
•   Levitzki, J. (1950), „O systemach multiplikatywnych” , Compositio Mathematica , 8 : 76–80, MR 0033799 .
•     Levitzki, Jakob (1945), „Rozwiązanie problemu G. Koethe”, American Journal of Mathematics , The Johns Hopkins University Press, 67 (3): 437–442, doi : 10.2307/2371958 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2371958 , MR 0012269
•     Utumi, Yuzo (1963), „Notatki matematyczne: twierdzenie Levitzkiego”, The American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, 70 (3): 286, doi : 10.2307/2313127 , hdl : 10338.dmlcz/101274 , ISSN 0002 -9890 , JSTOR 2313127 , MR 1532056