Twierdzenie Maiera

W teorii liczb twierdzenie Maiera ( Maier 1985 ) jest twierdzeniem o liczbie liczb pierwszych w krótkich przedziałach, dla których probabilistyczny model liczb pierwszych Craméra daje błędną odpowiedź.

Twierdzenie stwierdza, że ​​jeśli π jest funkcją liczenia liczb pierwszych , a λ jest większe niż 1, to wtedy

${\ Displaystyle {\ Frac {\ pi (x + (\ log x) ^ {\ lambda}) - \ pi ( x)}{(\log x)^{\lambda -1}}}}$

nie ma granicy, ponieważ x dąży do nieskończoności; dokładniej, granica wyższa jest większa niż 1, a granica dolna jest mniejsza niż 1. Model liczb pierwszych Craméra błędnie przewiduje, że ma granicę 1, gdy λ≥2 (przy użyciu lematu Borela – Cantelli ).

Dowody

Maier udowodnił swoje twierdzenie, używając odpowiednika Buchstaba dla funkcji zliczania liczb quasi-pierwszych (zbiór liczb bez czynników pierwszych niższych od granicy) ${\ displaystyle z = x ^ {1/u}}$ , ${\ styl wyświetlania u}$ naprawiono). Użył również odpowiednika liczby liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych o wystarczającej długości dzięki Gallagherowi .

Pintz (2007) dał kolejny dowód, a także wykazał, że większość probabilistycznych modeli liczb pierwszych błędnie przewiduje błąd średniokwadratowy

${\ Displaystyle \ int _ {2} ^ {Y} \ lewo (\ suma _ {2 <p \ równoważnik x}\log p-\sum _{2<n\równoważnik x}1\prawo)^{2}\,dx}$

jednej wersji twierdzenia o liczbach pierwszych .

Zobacz też

• Metoda macierzowa Maiera

•     Maier, Helmut (1985), „Liczby pierwsze w krótkich odstępach czasu” , The Michigan Mathematical Journal , 32 (2): 221–225, doi : 10,1307 / mmj / 1029003189 , ISSN 0026-2285 , MR 0783576 , Zbl 0569.10023
•     Pintz, János (2007), „Cramér vs. Cramér. O probabilistycznym modelu Craméra dla liczb pierwszych” , Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici , 37 : 361–376, doi : 10,7169/facm/1229619660 , ISSN 0208-6573 , MR 2363833 , Zbl 1226.11096
•    Soundararajan, K. (2007), „Rozkład liczb pierwszych”, w: Granville, Andrew ; Rudnick, Zeév (red.), Równomierna dystrybucja w teorii liczb, wprowadzenie. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute na temat równej dystrybucji w teorii liczb, Montreal, Kanada, 11-22 lipca 2005 r. , NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry, tom. 237, Dordrecht: Springer-Verlag , s. 59–83, ISBN 978-1-4020-5403-7 , Zbl 1141.11043