Twierdzenie Miquela

Diagram przedstawiający okręgi przechodzące przez wierzchołki trójkąta ABC i punkty A´ , B´ i C´ na sąsiednich bokach trójkąta przecinające się we wspólnym punkcie M .

Twierdzenie Pivot dla różnych trójkątów

Twierdzenie Miquela jest wynikiem geometrii , nazwanej na cześć Auguste'a Miquela, dotyczącej przecięcia się trzech okręgów, z których każdy jest poprowadzony przez jeden wierzchołek trójkąta i dwa punkty na sąsiednich bokach. Jest to jeden z kilku wyników dotyczących okręgów w geometrii euklidesowej dzięki Miquelowi, którego praca została opublikowana w nowo powstałym czasopiśmie Liouville'a Journal de mathématiques pures et appliquées .

Formalnie niech ABC będzie trójkątem z dowolnymi punktami A´ , B´ i C´ odpowiednio na bokach BC , AC i AB (lub ich przedłużeniach ). Narysuj trzy okręgi opisane na trójkątach AB´C´ , A´BC´ i A´B´C . Twierdzenie Miquela mówi, że okręgi te przecinają się w jednym punkcie M , zwanym punktem Miquela . Ponadto wszystkie trzy kąty MA´B , MB´C i MC´A (kolor zielony na rysunku) są sobie równe, podobnie jak trzy kąty dopełniające MA´C , MB´A i MC´B .

Twierdzenie (i jego wniosek) wynikają z właściwości cyklicznych czworoboków . Niech okręgi opisane na A'B'C i AB'C' spotkają się w ${\ Displaystyle M \ neq B '.}$ Wtedy ${\ Displaystyle \ kąt A'MC '= 2 \ pi - \ kąt B'MA' - \ kąt C'MB' = 2 \ pi - (\pi -C)-(\pi -A)=A+C=\pi -B,}$ stąd BA'MC' jest cykliczny zgodnie z życzeniem.

Twierdzenie obrotowe

Jeśli w stwierdzeniu twierdzenia Miquela punkty A´ , B´ i C´ tworzą trójkąt (to znaczy nie są współliniowe ), to twierdzenie to zostało nazwane przez Fordera twierdzeniem Pivota (1960 , s. 17). (Na diagramie punkty te są oznaczone jako P , Q i R ).

Jeśli A´ , B´ i C´ są współliniowe, to punkt Miquela leży na okręgu opisanym na ∆ABC i odwrotnie, jeśli punkt Miquela leży na tym okręgu opisanym, to A´ , B´ i C´ leżą na prostej.

Współrzędne trójliniowe punktu Miquela

Jeśli ułamkowe odległości A´ , B´ i C´ wzdłuż boków BC ( a ), CA ( b ) i AB ( c ) wynoszą odpowiednio d _a , d _b i d _c , punkt Miquela we współrzędnych trójliniowych ( x : y : z ), jest dana wzorem:

{2} d_ {a} d_ { a}^{\,'}+b^{2}d_{a}d_{b}+c^{2}d_{a}^{\,'}d_{c}^{\,'}\right )}

{\ Displaystyle y = b \ lewo (a ^ {2} d_ {a} ^ {\,'} d_ {b} ^ {\,'} -b ^ {2}d_{b}d_{b}^{\,'}+c^{2}d_{b}d_{c}\right)}

{\ Displaystyle z = c \ lewo (a ^ {2} d_ {a} d_ {c} + b ^ {2} d_ {b} ^ {\,'} d_ {c} ^ {\,'} -c ^{2}d_{c}d_{c}^{\,'}\right),}

gdzie d' _a = 1 - d _a , itd.

W przypadku d _a = d _b = d _c = ½ punkt Miquela jest środkiem okręgu opisanego $(cos α : cos β : cos γ)$ .

Odwrotność twierdzenia Miquela

Twierdzenie można odwrócić i powiedzieć: dla trzech okręgów przecinających się w punkcie M można poprowadzić linię z dowolnego punktu A na jednym okręgu, przechodząc przez jego przecięcie C´ z innym, aby otrzymać punkt B (na drugim przecięciu). B jest następnie podobnie połączone, poprzez przecięcie w A´ drugiego i trzeciego okręgu, dając punkt C . Punkty C , A i pozostały punkt przecięcia B´ będą wtedy współliniowe, a trójkąt ABC zawsze będzie przechodzić przez przecięcia okręgów A´ , B´ i C´ .

Twierdzenie czworoboku Miquela i Steinera

Twierdzenie o pięciokącie Miquela

Twierdzenie Miquela o sześciu okręgach mówi, że jeśli pięć okręgów ma cztery potrójne punkty przecięcia, to pozostałe cztery punkty przecięcia leżą na szóstym okręgu

Podobny trójkąt wpisany

Jeżeli trójkąt wpisany XYZ jest podobny do trójkąta odniesienia ABC , to punkt M przecięcia trzech okręgów jest ustalony dla wszystkich takich XYZ .

Twierdzenie Miquela i Steinera o czworoboku

Okręgi opisane na wszystkich czterech trójkątach pełnego czworoboku spotykają się w punkcie M . Na powyższym schemacie są to ∆ABF, ∆CDF, ∆ADE i ∆BCE.

Wynik ten został ogłoszony w dwóch wierszach przez Jakoba Steinera w wydaniu Gergonne's Annales de Mathématiques z lat 1827/1828 , ale szczegółowy dowód podał Miquel.

Twierdzenie o pięciokącie Miquela

Niech ABCDE będzie pięciokątem wypukłym. Rozciągnij wszystkie boki, aż spotkają się w pięciu punktach F, G, H, I, K i narysuj okręgi opisane na pięciu trójkątach CFD, DGE, EHA, AIB i BKC. Wtedy drugie punkty przecięcia (inne niż A,B,C,D,E), czyli nowe punkty M,N,P,R i Q są koncykliczne (leżą na okręgu). Zobacz diagram.

Wynik odwrotny jest znany jako twierdzenie o pięciu okręgach .

Twierdzenie Miquela o sześciu okręgach

Biorąc pod uwagę punkty A , B , C i D na okręgu oraz okręgi przechodzące przez każdą sąsiednią parę punktów, alternatywne przecięcia tych czterech okręgów w W , X , Y i Z leżą wtedy na wspólnym okręgu. Jest to znane jako twierdzenie o sześciu okręgach . Jest również znane jako twierdzenie o czterech kołach i chociaż ogólnie przypisuje się je Jakobowi Steinerowi , jedyny znany opublikowany dowód został podany przez Miquela. David G. Wells określa to jako Twierdzenie Miquela .

Trójwymiarowa wersja twierdzenia Miquela

Trójwymiarowy przypadek: cztery kule przecinają inne kule na czarnych okręgach.

Istnieje również trójwymiarowy analog, w którym cztery sfery przechodzące przez punkt czworościanu i punkty na krawędziach czworościanu przecinają się we wspólnym punkcie.

Zobacz też

Notatki

Coxeter, HSM; Greitzer, SL (1967), Geometry Revisited , New Mathematical Library , tom. 19, Washington, DC : Mathematical Association of America , ISBN 978-0-88385-619-2 , Zbl 0166.16402
Forder, HG (1960), Geometria , Londyn: Hutchinson
Ostermann, Aleksander; Wanner, Gerhard (2012), Geometria według swojej historii , Springer, ISBN 978-3-642-29162-3
Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometria / kompleksowy kurs , Dover, ISBN 0-486-65812-0
Smart, James R. (1997), Nowoczesne geometrie (wyd. 5), Brooks / Cole, ISBN 0-534-35188-3
Wells, David (1991), The Penguin Słownik ciekawej i interesującej geometrii , Nowy Jork: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6 , Zbl 0856.00005

Linki zewnętrzne