Twierdzenie Monge'a
W geometrii twierdzenie Monge'a , nazwane na cześć Gasparda Monge'a , stwierdza, że dla dowolnych trzech okręgów na płaszczyźnie, z których żaden nie jest całkowicie wewnątrz jednego z pozostałych, punkty przecięcia każdej z trzech par zewnętrznych linii stycznych są współliniowe .
Dla dowolnych dwóch okręgów na płaszczyźnie styczna zewnętrzna to prosta, która jest styczna do obu okręgów , ale nie przechodzi między nimi. Istnieją dwie takie zewnętrzne styczne dla dowolnych dwóch okręgów. Każda taka para ma unikalny punkt przecięcia na rozszerzonej płaszczyźnie euklidesowej . Twierdzenie Monge'a mówi, że trzy takie punkty podane przez trzy pary kół zawsze leżą na linii prostej. W przypadku dwóch okręgów o równej wielkości, dwie zewnętrzne styczne są równoległe. W tym przypadku twierdzenie Monge'a stwierdza, że pozostałe dwa punkty przecięcia muszą leżeć na linii równoległej do tych dwóch zewnętrznych stycznych. Innymi słowy, jeśli uważa się, że dwie styczne zewnętrzne przecinają się w punkcie w nieskończoności , to pozostałe dwa punkty przecięcia muszą leżeć na linii przechodzącej przez ten sam punkt w nieskończoności, więc prosta między nimi przyjmuje ten sam kąt, co zewnętrzna tangens.
Dowody
Najprostszy dowód wykorzystuje trójwymiarową analogię. Niech trzy okręgi odpowiadają trzem sferom o różnych promieniach; okręgi odpowiadają równikom, które wynikają z płaszczyzny przechodzącej przez środki kul. Trzy kule można w unikalny sposób umieścić pomiędzy dwiema płaszczyznami. Każda para sfer definiuje stożek, który jest styczny zewnętrznie do obu sfer, a wierzchołek tego stożka odpowiada punktowi przecięcia dwóch zewnętrznych stycznych, tj. zewnętrznemu homotetycznemu środkowi . Ponieważ jedna linia stożka leży w każdej płaszczyźnie, wierzchołek każdego stożka musi leżeć w obu płaszczyznach, a zatem gdzieś na linii przecięcia dwóch płaszczyzn. Dlatego trzy zewnętrzne centra homotetyczne są współliniowe.
Twierdzenie Monge'a można również udowodnić za pomocą twierdzenia Desarguesa . Inny łatwy dowód wykorzystuje twierdzenie Menelaosa , ponieważ stosunki można obliczyć ze średnic każdego koła, co zostanie wyeliminowane przez formy cykliczne przy użyciu twierdzenia Menelaosa. Twierdzenie Desarguesa stwierdza również, że 3 punkty leżą na linii, i ma podobny dowód, wykorzystując ten sam pomysł rozpatrywania go w 3, a nie w 2 wymiarach i zapisywania linii jako przecięcia 2 płaszczyzn.
Zobacz też
- Homotetyczne środki okręgów
- Problem Apoloniusza konstruuje okrąg (niekoniecznie unikalny), biorąc pod uwagę trzy inne koła
Bibliografia
- Graham, LA (1959). Pomysłowe problemy i metody matematyczne . Nowy Jork: Dover. ISBN 0486205452 . Źródło 1 grudnia 2012 r .