Twierdzenie Monsky'ego
W geometrii twierdzenie Monsky'ego stwierdza , że nie jest możliwe podzielenie kwadratu na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach. Innymi słowy, kwadrat nie ma nieparzystej równości .
Problem został postawiony przez Freda Richmana w American Mathematical Monthly w 1965 roku i został udowodniony przez Paula Monsky'ego w 1970 roku.
Dowód
Dowód Monsky'ego łączy techniki kombinatoryczne i algebraiczne , aw zarysie wygląda następująco:
- Weź kwadrat jako kwadrat jednostkowy z wierzchołkami w punktach (0,0), (0,1), (1,0) i (1,1). Jeśli istnieje rozwarstwienie na n trójkątów o równych polach, to pole każdego trójkąta wynosi 1/ n .
- Pokoloruj każdy punkt na kwadracie jednym z trzech kolorów, w zależności od 2-adycznej oceny jego współrzędnych.
- Wykaż, że prosta może zawierać punkty tylko dwóch kolorów.
- Użyj lematu Spernera, aby pokazać, że każda triangulacja kwadratu na trójkąty stykające się krawędziami musi zawierać co najmniej jeden trójkąt, którego wierzchołki mają trzy różne kolory.
- Wyciągnij wniosek z własności linii prostej, że trójkolorowy trójkąt musi również istnieć w każdym przekroju kwadratu na trójkąty, niekoniecznie stykające się krawędziami.
- Użyj geometrii kartezjańskiej, aby pokazać, że wartość 2-adyczna pola trójkąta, którego wierzchołki mają trzy różne kolory, jest większa niż 1. Zatem każdy podział kwadratu na trójkąty musi zawierać co najmniej jeden trójkąt, którego pole ma wartość 2-adyczną większy niż 1.
- Jeśli n jest nieparzyste, to wartość 2-adyczna 1/ n wynosi 1, więc niemożliwe jest podzielenie kwadratu na trójkąty, z których każdy ma pole 1/ n .
Optymalne sekcje
Zgodnie z twierdzeniem Monsky'ego konieczne jest posiadanie trójkątów o różnych polach, aby podzielić kwadrat na nieparzystą liczbę trójkątów. Zbadano dolne granice różnic powierzchni, które muszą wystąpić, aby podzielić kwadrat na nieparzystą liczbę trójkątów i optymalne rozbiory.
Uogólnienia
Twierdzenie można uogólnić na wyższe wymiary: n -wymiarowy hipersześcian można podzielić na uproszczenia o równej objętości tylko wtedy, gdy liczba uproszczeń jest wielokrotnością n !.