równodysekcja

6-równy przekrój kwadratu

W geometrii równorozcięcie to podział wielokąta na trójkąty o równej powierzchni . _ Badanie równych przekrojów rozpoczęło się pod koniec lat 60. XX wieku od twierdzenia Monsky'ego , które mówi, że kwadrat nie może być równo podzielony na nieparzystą liczbę trójkątów. W rzeczywistości większości wielokątów nie można w ogóle podzielić na równe części.

Znaczna część literatury ma na celu uogólnienie twierdzenia Monsky'ego na szersze klasy wielokątów. Ogólne pytanie brzmi: które wielokąty można równo podzielić na ile części? Szczególną uwagę zwrócono na trapezy , latawce , wielokąty foremne , wielokąty centralnie symetryczne , poliomino i hipersześciany .

Equidissections nie ma wielu bezpośrednich zastosowań. Uważa się je za interesujące, ponieważ początkowo wyniki są sprzeczne z intuicją, a dla problemu geometrii z tak prostą definicją teoria wymaga zaskakująco wyrafinowanych narzędzi algebraicznych. Wiele wyników opiera się na rozszerzeniu wartościowań p -adycznych na liczby rzeczywiste i rozszerzeniu lematu Spernera na bardziej ogólne kolorowe wykresy .

Przegląd

Definicje

Rozwarstwienie wielokąta P to skończony zbiór trójkątów, które nie zachodzą na siebie i których sumą jest cały P . Rozbiór na n trójkątów nazywany jest rozbiorem n i jest klasyfikowany jako rozbiór parzysty lub nieparzysty w zależności od tego, czy n jest parzyste, czy nieparzyste .

Równowaga to dyssekcja, w której każdy trójkąt ma takie samo pole . W przypadku wielokąta P zbiór wszystkich n , dla których istnieje n -równorozbiór P , nazywany jest widmem P i oznaczany jako S ( P ) . Ogólnym celem teoretycznym jest obliczenie widma danego wielokąta.

Rozwarstwienie nazywamy uproszczonym , jeśli trójkąty stykają się tylko wzdłuż wspólnych krawędzi. Niektórzy autorzy ograniczają swoją uwagę do uproszczonych sekcji, zwłaszcza w literaturze wtórnej, ponieważ łatwiej się z nimi pracuje. Na przykład zwykłe stwierdzenie lematu Spernera ma zastosowanie tylko do uproszczonych rozbiorów. Często uproszczone rozbiory nazywane są triangulacjami , chociaż wierzchołki trójkątów nie są ograniczone do wierzchołków lub krawędzi wielokąta. Uproszczone równorzędne dyssekcje są zatem nazywane również triangulacjami o równej powierzchni .

Terminy można rozszerzyć na politopy o wyższych wymiarach : równorzędny to zbiór simpleksów o tej samej objętości n .

Czynności wstępne

Łatwo jest znaleźć n -równy przekrój trójkąta dla wszystkich n . W rezultacie, jeśli wielokąt ma m -równe rozcięcie, to ma również mn -równe rozcięcie dla wszystkich n . W rzeczywistości często widmo wielokąta składa się dokładnie z wielokrotności pewnej liczby m ; w tym przypadku zarówno widmo, jak i wielokąt nazywane są głównymi , a widmo oznaczane. ${\ Displaystyle \ langle m \ rangle}$ . Na przykład widmo trójkąta wynosi ${\ Displaystyle \ langle 1 \ rangle}$ . Prostym przykładem wielokąta innego niż główny jest czworokąt z wierzchołkami (0, 0), (1, 0), (0, 1), (3/2, 3/2); jego widmo obejmuje 2 i 3, ale nie 1.

Transformacje afiniczne płaszczyzny są przydatne do badania równych sekcji, w tym translacji , jednolitego i niejednorodnego skalowania , odbić , obrotów , ścinania i innych podobieństw oraz map liniowych . Ponieważ transformacja afiniczna zachowuje linie proste i proporcje obszarów, wysyła równe rozcięcie do równorzędnych. Oznacza to, że można zastosować dowolną transformację afiniczną do wielokąta, która może nadać mu łatwiejszą do zarządzania formę. Na przykład często wybiera się takie współrzędne, że trzy wierzchołki wielokąta to (0, 1), (0, 0) i (1, 0).

Fakt, że transformacje afiniczne zachowują równe rozwarstwienie, oznacza również, że pewne wyniki można łatwo uogólnić. Wszystkie wyniki podane dla wielokąta foremnego obowiązują również dla wielokątów afiniczno-regularnych ; w szczególności wyniki dotyczące kwadratu jednostkowego odnoszą się również do innych równoległoboków, w tym prostokątów i rombów . Wszystkie wyniki podane dla wielokątów o całkowitych odnoszą się również do wielokątów o współrzędnych wymiernych lub wielokątów, których wierzchołki leżą na dowolnej innej sieci .

Najlepsze wyniki

Twierdzenie Monsky'ego mówi, że kwadrat nie ma nieparzystych równych przekrojów, więc jego widmo wynosi ${\ Displaystyle \ langle 2 \ rangle}$ . Mówiąc bardziej ogólnie, wiadomo, że centralnie symetryczne wielokąty i wielokąty nie mają nieparzystych równych przekrojów. Przypuszczenie Shermana K. Steina sugeruje, że żaden specjalny wielokąt nie ma nieparzystego równego podziału, gdzie specjalny wielokąt to taki, którego klasy równoważności równoległych krawędzi sumują się do wektora zerowego . Kwadraty, centralnie symetryczne wielokąty , wielokąty wielokątne i wieloheksy są wielokątami specjalnymi.

Dla n > 4 widmo regularnego n -gonu wynosi ${\ Displaystyle \ langle n \ rangle}$ . Dla n > 1 widmo n -wymiarowego sześcianu wynosi ${\ Displaystyle \ langle n! \ rangle}$ , gdzie n ! jest silnią n . _ a widmo n -wymiarowego cross-polytopu wynosi ${\ Displaystyle \ langle 2 ^ {n-1} \ rangle}$ . To ostatnie wynika mutatis mutandis z dowodu ośmiościanu w

Niech T ( a ) będzie trapezem , gdzie a jest stosunkiem równoległych długości boków. Jeśli a jest liczbą wymierną , to T ( a ) jest liczbą główną. W rzeczywistości, jeśli r / s jest ułamkiem w najniższych wartościach, to ${\ Displaystyle S (T (r / s)) = \ langle r + s \ rangle }$ . Mówiąc bardziej ogólnie, wszystkie wielokąty wypukłe o współrzędnych wymiernych można podzielić na równe części, chociaż nie wszystkie z nich są główne; zobacz powyższy przykład latawca z wierzchołkiem w (3/2, 3/2).

Z drugiej strony, jeśli a jest liczbą przestępną , to T ( a ) nie ma równego podziału. Mówiąc bardziej ogólnie, żaden wielokąt, którego współrzędne wierzchołków są algebraicznie niezależne , nie ma równego rozcięcia. Oznacza to, że prawie wszystkie wielokąty z więcej niż trzema bokami nie mogą być równe. Chociaż większości wielokątów nie można podzielić na trójkąty o równych polach, wszystkie wielokąty można podzielić na czworokąty o równych polach.

Jeśli a jest algebraiczną liczbą niewymierną , to T ( a ) jest trudniejszym przypadkiem. Jeśli a jest algebraiczne stopnia 2 lub 3 ( kwadratowe lub sześcienne), a wszystkie jego koniugaty mają dodatnie części rzeczywiste , to S ( T ( a )) zawiera wszystkie wystarczająco duże n takie, że n / (1 + a ) jest algebraiczną liczbą całkowitą . Przypuszcza się, że podobny warunek dotyczący stabilnych wielomianów może decydować o tym, czy widmo jest puste dla liczb algebraicznych a wszystkich stopni.

Historia

Idea równego rozcięcia wydaje się rodzajem elementarnej koncepcji geometrycznej, która powinna być dość stara. Aigner i Ziegler (2010) zauważają twierdzenie Monsky'ego: „można było odgadnąć, że z pewnością odpowiedź musiała być znana od dawna (jeśli nie Grekom)”. Ale badanie równorzędnych rozcięć rozpoczęło się dopiero w 1965 roku, kiedy Fred Richman przygotowywał się do magisterskiego na Uniwersytecie Stanowym Nowego Meksyku .

Twierdzenie Monsky'ego

Richman chciał uwzględnić na egzaminie pytanie z geometrii i zauważył, że trudno było znaleźć (jak to się teraz nazywa) nieparzyste równe rozcięcie kwadratu. Richman udowodnił sobie, że jest to niemożliwe dla 3 lub 5, że istnienie równego n pociąga za sobą istnienie równego przekroju ( n + 2) i że pewne czworoboki arbitralnie zbliżone do kwadratów mają nieparzyste równe rozwarstwienie. Jednak nie rozwiązał ogólnego problemu nieparzystych równych przekrojów kwadratów i opuścił go na egzaminie. Problemem zainteresował się przyjaciel Richmana, John Thomas; w jego wspomnieniu,

„Wszyscy, którym postawiono problem (w tym ja), powiedzieli coś w stylu:„ to nie moja dziedzina, ale pytanie z pewnością musiało zostać rozważone i odpowiedź jest prawdopodobnie dobrze znana ”. Niektórzy myśleli, że go widzieli, ale nie mogli sobie przypomnieć gdzie. Byłem zainteresowany, ponieważ przypominał mi Lemat Spernera w topologii , który ma sprytny dowód parzystości nieparzystej.

Thomas udowodnił, że nieparzyste równe rozcięcie jest niemożliwe, jeśli współrzędne wierzchołków są liczbami wymiernymi o nieparzystych mianownikach. Przesłał ten dowód do Mathematics Magazine , ale został on wstrzymany:

„Reakcja sędziego była przewidywalna. Myślał, że problem może być dość łatwy (chociaż nie mógł go rozwiązać) i prawdopodobnie był dobrze znany (chociaż nie mógł znaleźć do niego odniesienia)”.

Zamiast tego pytanie zostało podane jako problem zaawansowany w American Mathematical Monthly ( Richman i Thomas 1967 ). Kiedy nikt inny nie przedstawił rozwiązania, dowód został opublikowany w Mathematics Magazine ( Thomas 1968 ), trzy lata po jego napisaniu. Monsky (1970) następnie oparł się na argumencie Thomasa, aby udowodnić, że nie ma nieparzystych równych przekrojów kwadratu, bez żadnych założeń racjonalności.

Dowód Monsky'ego opiera się na dwóch filarach: wyniku kombinatorycznym , który uogólnia lemat Spernera, oraz wyniku algebraicznym , czyli istnieniu 2-adycznej oceny liczb rzeczywistych. Sprytne pokolorowanie płaszczyzny implikuje następnie, że we wszystkich przekrojach kwadratu przynajmniej jeden trójkąt ma pole o parzystym mianowniku, a zatem wszystkie równe przekroje muszą być równe. Istotę argumentu można znaleźć już u Thomasa (1968) , ale Monsky (1970) jako pierwszy zastosował wycenę 2-adyczną do pokrycia sekcji z dowolnymi współrzędnymi.

Uogólnienia

${\ Displaystyle \ langle n! \ rangle}$ Monsky'ego był Mead (1979) , który udowodnił, że widmo n -wymiarowego sześcianu wynosi . Dowód ponownie przeanalizowali Bekker i Netsvetaev (1998) .

Uogólnienie na wielokąty foremne pojawiło się w 1985 roku podczas seminarium z geometrii prowadzonego przez GD Chakeriana na Uniwersytecie Kalifornijskim w Davis . Elaine Kasimatis , doktorantka, „szukała tematu algebraicznego, który mogłaby poruszyć” na seminarium. Sherman Stein zasugerował rozbiory kwadratu i sześcianu: „temat, który Chakerian niechętnie przyznał, był geometryczny”. Po jej przemówieniu Stein zapytała o pięciokąty foremne. Kasimatis odpowiedział Kasimatisem (1989) , udowadniając, że dla n > 5 widmo regularnego n -gonu wynosi ${\ displaystyle \ langle n \ rangle}$ . Jej dowód opiera się na dowodzie Monsky'ego, rozszerzając p -adyczną na liczby zespolone dla każdego pierwszego dzielnika n i stosując pewne elementarne wyniki z teorii pól cyklotomicznych . Jest to również pierwszy dowód na jawne użycie transformacji afinicznej w celu skonfigurowania wygodnego układu współrzędnych. Kasimatis i Stein (1990) sformułowali następnie problem znalezienia widma ogólnego wielokąta, wprowadzając terminy widmo i zasada . Udowodnili, że prawie wszystkie wielokąty nie mają równych przekrojów i że nie wszystkie wielokąty są główne.

Kasimatis i Stein (1990) rozpoczęli badanie widm dwóch szczególnych uogólnień kwadratów: trapezów i latawców. Trapezy były dalej badane przez Jepsena (1996) , Monsky'ego (1996) oraz Jepsena i Monsky'ego (2008) . Latawce były dalej badane przez Jepsena, Sedberry & Hoyer (2009) . Ogólne czworoboki badano w Su & Ding (2003) . Kilka artykułów zostało napisanych na Hebei Normal University , głównie przez profesora Ding Ren i jego uczniów Du Yatao i Su Zhanjun.

Próbując uogólnić wyniki dla n -kątów foremnych dla parzystych n , Stein (1989) wysunął przypuszczenie, że żaden centralnie symetryczny wielokąt nie ma nieparzystego równego podziału, i udowodnił przypadki n = 6 i n = 8. Pełne przypuszczenie zostało udowodnione przez Monsky'ego (1990) . Dziesięć lat później Stein dokonał czegoś, co opisuje jako „zaskakujący przełom”, przypuszczając, że żadne poliomino nie ma dziwnego równego rozcięcia. Udowodnił wynik poliomino z nieparzystą liczbą kwadratów w Stein (1999) . Pełne przypuszczenie zostało udowodnione, gdy Praton (2002) potraktował przypadek parzysty.

Temat równorzędnych rozbiorów został ostatnio spopularyzowany przez traktowanie w The Mathematical Intelligencer ( Stein 2004 ), tomie Carus Mathematical Monographs ( Stein & Szabó 2008 ) oraz w czwartej edycji Proofs from THE BOOK ( Aigner & Ziegler 2010 ).

Powiązane problemy

Sakai, Nara i Urrutia (2005) rozważają odmianę problemu: biorąc pod uwagę wypukły wielokąt K , jaka część jego powierzchni może być pokryta przez n nienakładających się trójkątów o równej powierzchni wewnątrz K ? Stosunek powierzchni o najlepszym możliwym pokryciu do powierzchni K jest oznaczony _tn ( K ) . Jeśli K ma n -równy przekrój, to t _n ( K ) = 1; w przeciwnym razie jest mniejszy niż 1. Autorzy pokazują , że dla czworoboku K t _n ( K ) ≥ 4 n /(4 n + 1), gdzie t ₂ ( K ) = 8/9 wtedy i tylko wtedy, gdy K jest kongruentny afinicznie do trapezu T (2/3). Dla pięciokąta t ₂ ( K ) ≥ 2/3, t ₃ ( K ) ≥ 3/4 i t _n ( K ) ≥ 2 n /(2 n + 1) dla n ≥ 5.

Günter M. Ziegler zadał odwrotny problem w 2003 roku: Biorąc pod uwagę przekrój całego wielokąta na n trójkątów, jak blisko mogą być równe obszary trójkąta? W szczególności jaka jest najmniejsza możliwa różnica między polami najmniejszego i największego trójkąta? Niech najmniejszą różnicą będzie M ( n ) dla kwadratu i M ( a , n ) dla trapezu T ( a ). Wtedy M ( n ) wynosi 0 dla parzystego n i większe od 0 dla nieparzystego n . Mansow (2003) podał asymptotyczną górną granicę M ( n ) = O(1/ n ² ) (patrz notacja Big O ). Schulze (2011) poprawia wiązanie do M ( n ) = O(1/ n ³ ) z lepszym rozbiorem i udowadnia, że ​​istnieją wartości a, dla których M ( a , n ) maleje dowolnie szybko. Labbé, Rote i Ziegler (2018) uzyskują górną granicę superwielomianu, wywodzącą się z jawnej konstrukcji wykorzystującej sekwencję Thue – Morse'a .

Bibliografia

Drugorzędne źródła

•    Aigner, Marcin ; Ziegler, Günter M. (2010), „Jeden kwadrat i nieparzysta liczba trójkątów”, Dowody z KSIĘGI (wyd. 4), s. 131–138, doi : 10.1007 / 978-3-642-00856-6_20 , ISBN 978-3-642-00855-9 , Zbl 1185.00001
•   Barker, William H.; Howe, Roger (2007), Ciągła symetria: od Euklidesa do Kleina , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-3900-3
•   Klee, Victor; Wagon, Stan (1991), Stare i nowe nierozwiązane problemy w geometrii płaszczyzny i teorii liczb , Dolciani Mathematical Expositions, tom. 11, Amerykańskie Stowarzyszenie Matematyczne, ISBN 978-0-88385-315-3
•    Stein, Sherman K. (marzec 2004), „Cięcie wielokąta na trójkąty o równych obszarach”, The Mathematical Intelligencer , 26 (1): 17–21, doi : 10.1007 / BF02985395 , S2CID 117930135 , Zbl 1186.52015
•    Stein, Sherman K .; Szabó, Sándor (2008), „Dachówka według trójkątów równych obszarów”, Algebra and Tiling: Homomorfizmy w służbie geometrii , Carus Mathematical Monographs , tom. 25, Mathematical Association of America , s. 107–134, ISBN 978-0-88385-041-1 , Zbl 0930.52003
•   Sury, Balasubramanian (2012), „Teoria grup i problemy z kafelkami” (PDF) , w Inder Bir S. Passi (red.), Symetria: perspektywa wielodyscyplinarna , Notatki z wykładów Towarzystwa Matematycznego Ramanujan, tom. 16, International Press, s. 97–117, ISBN 978-1-57146-247-3

Podstawowe źródła

•    Bekker, BM; Netsvetaev, N. Yu. (Październik 1998), „Uogólniony lemat Spernera i podziały na uproszczenia o równej objętości”, Journal of Mathematical Sciences , 91 (6): 3492–3498, doi : 10.1007 / BF02434927 , S2CID 123203936 , Zbl 0891.51013
•   Du, Yatao (maj 2003), „多边 形 的 等 积 三 角 剖 分 (dalsze wyniki dotyczące nierównej równoległości)” , Journal of Hebei Normal University (wydanie Natural Science) , 27 (3): 220–222, Zbl 1036.52019
•    Du, Yatao; Ding, Ren (marzec 2005), „Więcej o cięciu wielokąta na trójkąty o równych obszarach” (PDF) , Journal of Applied Mathematics and Computing , 17 (1–2): 259–267, doi : 10.1007 / BF02936053 , S2CID 16100898 , Zbl 1066.52017 , zarchiwizowane z oryginału (PDF) w dniu 2015-04-02 , pobrane 2012-08-06
•    Hales, AW ; Straus, EG (marzec 1982), „Projekcyjne kolory” , Pacific Journal of Mathematics , 99 (2): 31–43, doi : 10.2140/pjm.1982.99.31 , MR 0651484 , Zbl 0451.51010
•    Jepsen, Charles H. (czerwiec – lipiec 1996), „Equidissections of Trapezoids” (PDF) , The American Mathematical Monthly , 103 (6): 498–500, doi : 10.2307/2974717 , JSTOR 2974717 , Zbl 0856.51007
•   Jepsen, Charles H.; Monsky, Paul (6 grudnia 2008), „Konstruowanie równorozkładów dla niektórych klas trapezów” (PDF) , Matematyka dyskretna , 308 (23): 5672–5681, doi : 10.1016/j.disc.2007.10.031 , Zbl 1156.51304
•   Jepsen, Charles H.; Sedberry, Trevor; Hoyer, Rolf (18 marca 2009), „Equidissections czworoboków w kształcie latawca” (PDF) , Involve , 2 (1): 89–93, doi : 10.2140 / involve.2009.2.89 , Zbl 1176.52003
•   Kasimatis, Elaine A. (grudzień 1989), „Rozdziały regularnych wielokątów na trójkąty o równych obszarach” , Discrete & Computational Geometry , 4 (1): 375–381, doi : 10.1007 / BF02187738 , Zbl 0675.52005
•   Kasimatis, Elaine A .; Stein, Sherman K. (1 grudnia 1990), „Equidissections of polygons”, Discrete Mathematics , 85 (3): 281–294, doi : 10.1016/0012-365X (90) 90384-T , Zbl 0736.05028
•   Labbe, Jean-Philippe; Rote, Gunter; Ziegler, Günter M. (2018), „Granice różnicy powierzchni dla rozbiorów kwadratu na nieparzystą liczbę trójkątów”, Experimental Mathematics , 29 (3): 1–23, arXiv : 1708,02891 , doi : 10,1080/10586458.2018.1459961 , S2CID 3995120
• Mansow, K. (2003), Ungerade Triangulierungen eines Quadrats von kleiner Diskrepanz (Diplomarbeit), Niemcy: TU Berlin
•   Mead, David G. (wrzesień 1979), „Rozbiór hipersześcianu na simpleksy”, Proceedings of the American Mathematical Society , 76 (2): 302–304, doi : 10.1090 / S0002-9939-1979-0537093-6 , Zbl 0423.51012
•    Monsky, Paul (luty 1970), „O podziale kwadratu na trójkąty”, The American Mathematical Monthly , 77 (2): 161–164, doi : 10.2307/2317329 , JSTOR 2317329 , Zbl 0187.19701 Przedruk jako   Monsky, Paul (lipiec 1977 ), „O podziale kwadratu na trójkąty” , Selected Papers on Algebra , Raymond W. Brink wybrane artykuły matematyczne, tom. 3, Mathematical Association of America, s. 249–251 , ISBN 978-0-88385-203-3
•    Monsky, Paul (wrzesień 1990), „Przypuszczenie Steina o sekcjach płaskich” , Mathematische Zeitschrift , 205 (1): 583–592, doi : 10.1007 / BF02571264 , S2CID 122009844 , Zbl 0693.51008
•    Monsky, Paul (czerwiec – lipiec 1996), „Obliczanie widma trapezowego”, The American Mathematical Monthly , 103 (6): 500–501, doi : 10.2307/2974718 , JSTOR 2974718 , Zbl 0856.51008
•    Praton Iwan ( listopad 2002 ) _ _ _ _ _ _ _ _
•   Richman, Fred; Thomas, John (marzec 1967), „Problem 5471” , American Mathematical Monthly , 74 (3): 328–329, doi : 10.2307/2316055 , JSTOR 2316055
• Rudenko, Daniil (2012), O równym rozcięciu zrównoważonych wielokątów , arXiv : 1206,4591 , Bibcode : 2012arXiv1206.4591R
•    Sakai, T.; Nara, C.; Urrutia, J. (2005), „Wielokąty o równej powierzchni w ciałach wypukłych” (PDF) , w: Jin Akiyama ; Edy Tri Baskoro; Mikio Kano (red.), Kombinatoryczna geometria i teoria grafów: wspólna konferencja Indonezji i Japonii, IJCCGGT 2003, Bandung, Indonezja, 13-16 września 2003, poprawione wybrane artykuły , notatki z wykładów z informatyki, tom. 3330, Springer, s. 146–158, doi : 10.1007/978-3-540-30540-8_17 , ISBN 978-3-540-24401-1 , Zbl 1117.52010
•   Schulze, Bernd (1 lipca 2011), „O powierzchni rozbieżności triangulacji kwadratów i trapezów” , Electronic Journal of Combinatorics , 18 (1): # P137, doi : 10.37236/624 , Zbl 1222.52017
•    Stein, Sherman K. (czerwiec 1989), „Equidissections centralnie symetrycznych ośmiokątów”, Aequationes Mathematicae , 37 (2–3): 313–318, doi : 10.1007 / BF01836454 , S2CID 120042596 , Zbl 0681.52008
•   Stein, Sherman K. (marzec 1999), „Cięcie poliomino w trójkąty równych obszarów”, American Mathematical Monthly , 106 (3): 255–257, doi : 10,2307/2589681 , JSTOR 2589681
•   Stein, Sherman K. (grudzień 2000), „Uogólnione przypuszczenie dotyczące cięcia wielokąta na trójkąty o równych obszarach”, Discrete & Computational Geometry , 24 (1): 141–145, doi : 10.1007 / s004540010021 , Zbl 0968.52011
•   Su , Zhanjun ( listopad 2002 ) _ 1038.52002
• Su, Zhanjun (2004), "关于一类特殊梯形的等面积三角形划分(O cięciu rodziny specjalnych trapezów na trójkąty o równych obszarach)", Matematyka w praktyce i teorii (po chińsku), 34 ( 1 ) : 145 –149
•   Su, Zhanjun; Wang, Xinke; Tian, ​​Huizhu (lipiec 2002), "关于Stein猜想的研究 (Study on Stein's conjecture)" , Journal of Hebei Normal University (Natural Science Edition) (po chińsku), 26 (4): 341–342, Zbl 1024.52002
•   Su, Zhanjun; Wang, Xinke (listopad 2002), "关于多边形三角划分中的一个逼近问题 (An Approximation Problem About Cutting Polygons into Triangles)" , Journal of Hebei Normal University (Natural Science) (po chińsku), 30 (4): 95 –97, Zbl 1040.52002
•   Su, Zhanjun; Wei, Xianglin; Liu, Fuyi (maj 2003), „关于Stein猜想的推广 (uogólnienie o przypuszczeniu Steina)” , Journal of Hebei Normal University (Natural Science Edition) (po chińsku), 27 (3): 223–224, Zbl 1036.52020
•    Su, Zhanjun; Ding, Ren (wrzesień 2003), „Przekroje wielokątów na trójkąty o równych obszarach” , Journal of Applied Mathematics and Computing , 13 (1–2): 29–36, doi : 10.1007 / BF02936072 , S2CID 121587469 , Zbl 1048.52011 , zarchiwizowane od oryginału w dniu 2005-01-18
•   Su, Zhanjun; Ding, Ren (20 września 2004), „Cięcie Hyperpolyomino na simpleksy” , Biuletyn Matematyki Azji Południowo , 28 (3): 573–576, Zbl 1067.52017
•   Su, Zhanjun; Ding, Ren (2005), "四边形的等积三角剖分 (Rozdział czworoboków na trójkąty równych obszarów)" , Acta Mathematica Scientia (po chińsku), 25 (5): 718–721, Zbl 1098.52004 , zarchiwizowane z oryginał w dniu 2015-04-02
•    Thomas, John (wrzesień 1968), „A Dissection Problem”, Mathematics Magazine , 41 (4): 187–190, doi : 10.2307/2689143 , JSTOR 2689143 , Zbl 0164.51502

Linki zewnętrzne

• Lemat Spernera, twierdzenie Brouwera o punkcie stałym i podział kwadratów na trójkąty - notatki Akhila Mathew
• Über die Zerlegung eines Quadrats in Dreiecke gleicher Fläche - Notatki Moritza W. Schmitta (język niemiecki)
• Układanie wielokątów według trójkątów o równej powierzchni — notatki Alexa Ghitzy
• Dzielenie trapezów na trójkąty o równej powierzchni — MathOverflow