Twierdzenie Newtona (czworokąt)
W geometrii euklidesowej twierdzenie Newtona stwierdza, że w każdym stycznym czworoboku innym niż romb środek okręgu wpisanego leży na prostej Newtona .
Niech ABCD będzie czworokątem stycznym, który ma co najwyżej jedną parę boków równoległych. Ponadto niech E i F będą środkami jego przekątnych AC i BD oraz P będą środkiem okręgu wpisanego w ten okrąg. Przy takiej konfiguracji punkt P leży na prostej Newtona, czyli prostej EF łączącej środki przekątnych.
Styczny czworokąt mający dwie pary równoległych boków to romb. W tym przypadku zarówno punkty środkowe, jak i środek okręgu pokrywają się i z definicji nie istnieje żadna linia Newtona.
Twierdzenie Newtona można łatwo wyprowadzić z twierdzenia Anny , biorąc pod uwagę, że w czworokątach stycznych suma długości przeciwległych boków jest równa ( twierdzenie Pitota : a + c = b + d ). Teraz zgodnie z twierdzeniem Anny pokazującym, że połączone pola przeciwległych trójkątów PAD i PBC oraz połączone pola trójkątów PAB i PCD są równe, wystarczy, aby P leżał na EF . Niech r będzie promieniem okręgu, wtedy r będzie także wysokością wszystkich czterech trójkątów.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&A(\triangle PAB)+A(\triangle PCD)\\[5pt]={}&{\tfrac {1}{2}}ra+{\tfrac {1}{2}}rc={\tfrac {1}{2}}r(a+c)\\[5pt]={}&{\tfrac {1}{2}}r(b+d)={\tfrac {1}{2}}rb+{\tfrac {1}{2}}rd\\[5pt]={}&A(\triangle PBC)+A(\triangle PAD)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ca1c41e1c8ec27f235b58d866dcc64496b164b8)
- Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Urocze dowody: podróż do eleganckiej matematyki . MAA, 2010, ISBN 9780883853481 , s. 117–118 ( kopia internetowa , s. 117, w Książkach Google )
Linki zewnętrzne
- Twierdzenia Newtona i Léona Anny na stronie cut-the-knot.org