Twierdzenie Nowikowa o zwartym liściu

W matematyce twierdzenie o zwartym liściu Nowikowa , nazwane na cześć Siergieja Nowikowa , stwierdza, że

Jednowymiarowa foliacja zwartej 3-rozmaitości, której uniwersalna przestrzeń pokrywająca nie jest kurczliwa, musi mieć zwarty liść.

Twierdzenie Nowikowa o zwartym liściu dla S ³

Twierdzenie: Gładka jednowymiarowa foliacja 3-kuli S ³ ma zwarty liść. Liść jest torusem T ² ograniczającym stały torus z foliacją Reeba .

Twierdzenie zostało udowodnione przez Siergieja Nowikowa w 1964 roku. Wcześniej Charles Ehresmann przypuszczał, że każda gładka foliacja w jednym kowymiarze na S ³ ma zwarty liść, co było prawdą dla wszystkich znanych przykładów; w szczególności foliacja Reeba ma zwarty liść, który ^jest T2 .

Twierdzenie Nowikowa o zwartym liściu dla dowolnego M ³

W 1965 roku Nowikow udowodnił twierdzenie o zwartym liściu dla dowolnego M ³ :

  Twierdzenie: Niech M ³ będzie zamkniętą 3-rozmaitością z gładkim cowymiarowym foliowaniem F . Załóżmy, że spełniony jest dowolny z poniższych warunków:

1. grupa podstawowa jest skończona, ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (M ^ {3})}$
2. druga grupa homotopii ${\ Displaystyle \ pi _ {2} (M ^ {3}) \ neq 0$ } ,
3. istnieje liść $L$$\ pi _ {1 }(M^{3})}$ że mapa indukowane przez inkluzję ma nietrywialne jądro .

Wtedy F ma zwarty liść rodzaju g ≤ 1.

Jeśli chodzi o pokrycie przestrzeni:

Jednowymiarowa foliacja zwartej 3-rozmaitości, której uniwersalna przestrzeń pokrywająca nie jest kurczliwa, musi mieć zwarty liść.

• S. Nowikow . Topologia foliacji//Trudy Moskov. Mata. Obszcz, 1965, t. 14, s. 248–278. [1]
• I Tamura . Topologia foliacji — AMS, v.97, 2006.
• D. Sullivan , Cykle do dynamicznego badania rozmaitości foliowanych i rozmaitości złożonych, Invent. Matematyka , 36 (1976), s. 225–255. [2]