Twierdzenie Słuckiego

W teorii prawdopodobieństwa twierdzenie Słuckiego rozszerza niektóre właściwości operacji algebraicznych na zbieżne ciągi liczb rzeczywistych na ciągi zmiennych losowych .

Twierdzenie zostało nazwane na cześć Eugeniusza Słuckiego . Twierdzenie Słuckiego przypisuje się również Haraldowi Cramérowi .

Oświadczenie

Niech $sekwencjami$ losowych elementów macierzy . Jeśli $rozkład zbiega$$}$ do losowego elementu i zbiega się pod względem prawdopodobieństwa do stałej, to X $displaystyle$$X_ {$

• ${\ Displaystyle X_ {n} + Y_ {n} \ {\ xrightarrow {d}} \ X + c;}$
• ${\ Displaystyle X_ {n} Y_ {n} \ \ xrightarrow {d} \ Xc;}$
• ${\ Displaystyle X_ {n} / Y_ {n} \ {\ xrightarrow {d}} \ X / c,}$ pod warunkiem, że c jest odwracalne,

gdzie oznacza zbieżność rozkładu . ${\ displaystyle {\ xrightarrow {d}}}$

Uwagi:

1. Warunek, aby Y _n zbiegał się do stałej, jest ważny — gdyby zbiegał się do niezdegenerowanej zmiennej losowej, twierdzenie nie byłoby już ważne. $_$ przykład _ $_ Y_{n}=-X_{n}}$ . Suma ${\ displaystyle X_ {n} + Y_ {n} = 0}$ dla wszystkich wartości n . Co więcej, ale ${\ Displaystyle Y_ {n} \, \ xrightarrow {d} \, {\ rm {Uniform}} (-1,0)$ } ${\ Displaystyle X_ {n} + Y_ {n}}$ nie zbiega się w rozkładzie do ${\ displaystyle X + Y}$ , gdzie ${\ Displaystyle X \ sim {\ rm {mundur}} (0,1)}$ , $(-1,0)}$${\ Displaystyle Y \$$i$ Uniform } $niezależne$ są .
2. Twierdzenie pozostaje ważne, jeśli zastąpimy wszystkie zbieżności rozkładu zbieżnościami prawdopodobieństwa.

Dowód

Twierdzenie to wynika z faktu, że jeśli X _n zbiega się w rozkładzie do X i Y _n zbiega się z prawdopodobieństwem do stałej c , to wektor łączny ( X _n , Y _n ) zbiega się w rozkładzie do ( X , c ) ( patrz tutaj ) .

Następnie stosujemy twierdzenie o mapowaniu ciągłym , uznając, że funkcje g ( x , y ) = x + y , g ( x , y ) = xy i g ( x , y ) = x y ⁻¹ są ciągłe (dla ostatniej funkcji aby było ciągłe, y musi być odwracalne).

Zobacz też

• Zbieżność zmiennych losowych

Dalsza lektura

•   Casella, George; Bergera, Rogera L. (2001). Wnioskowanie statystyczne . Pacific Grove: Duxbury. s. 240–245. ISBN 0-534-24312-6 .
• Grimmett, G.; Stirzaker, D. (2001). Prawdopodobieństwo i procesy losowe (wyd. 3). Oksford.
•   Hayashi, Fumio (2000). Ekonometria . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton. s. 92–93. ISBN 0-691-01018-8 .