Twierdzenie Synge'a

W matematyce , szczególnie w geometrii riemannowskiej , twierdzenie Synge'a jest klasycznym wynikiem odnoszącym krzywiznę rozmaitości riemannowskiej do jej topologii . Jej nazwa pochodzi od nazwiska Johna Lightona Synge'a , który udowodnił to w 1936 roku .

Twierdzenie i szkic dowodu

Niech M będzie zamkniętą rozmaitością riemannowską o dodatniej krzywiźnie przekroju . Twierdzenie stwierdza:

• Jeśli M jest parzyste i orientowalne , to M jest po prostu spójny .
• Jeśli M jest nieparzyste, to jest orientowalne.

W szczególności zamknięta rozmaitość o parzystym wymiarze może wspierać dodatnio zakrzywioną metrykę Riemanna tylko wtedy, gdy jej podstawowa grupa ma jeden lub dwa elementy.

Dowód twierdzenia Synge'a można podsumować w następujący sposób. Biorąc pod uwagę geodezyjne S ¹ → M z ortogonalnym i równoległym polem wektorowym wzdłuż geodezyjnej (tj. równoległej sekcji wiązki normalnej do geodezyjnej), wcześniejsze obliczenie Synge'a drugiego wzoru wariacyjnego na długość łuku pokazuje natychmiast, że geodezyjna może być zdeformowana aby skrócić jego długość. Jedynym narzędziem stosowanym na tym etapie jest założenie o krzywiźnie przekroju.

Konstrukcja równoległego pola wektorowego wzdłuż dowolnej ścieżki jest automatyczna dzięki transportowi równoległemu ; nietrywialność w przypadku pętli polega na tym, czy wartości w punktach końcowych pokrywają się. Sprowadza się to do problemu czystej algebry liniowej : niech V będzie skończenie wymiarową rzeczywistą przestrzenią iloczynu wewnętrznego z T : V → V ortogonalną mapą liniową z wektorem własnym v o wartości własnej jeden. Jeśli wyznacznik T jest dodatni , a wymiar V lub alternatywnie, jeśli wyznacznik T jest ujemny, a wymiar V jest nieparzysty, to istnieje wektor własny w T z wartością własną, która jest ortogonalna do v . W kontekście V to przestrzeń styczna do M w punkcie pętli geodezyjnej, T to mapa transportu równoległego zdefiniowana przez pętlę, a v to wektor styczny do geodezyjnej.

Biorąc pod uwagę dowolną niekurczliwą pętlę w kompletnej rozmaitości riemannowskiej, istnieje przedstawiciel jej (swobodnej) klasy homotopii, która ma minimalną możliwą długość łuku i jest to geodezja. Zgodnie z obliczeniami Synge oznacza to, że wzdłuż tej geodezji nie może istnieć równoległe i ortogonalne pole wektorowe. Jednakże:

• Orientowalność oznacza, że ​​mapa transportu równoległego wzdłuż każdej pętli ma wyznacznik dodatni. Parzystość implikuje zatem istnienie równoległego pola wektorowego, prostopadłego do geodezyjnego.
• Brak orientacji oznacza, że ​​pętla niekurczliwa może być wybrana w taki sposób, że mapa transportu równoległego ma wyznacznik ujemny. Nieparzysta wymiarowość implikuje zatem istnienie równoległego pola wektorowego, ortogonalnego do geodezyjnego.

Ta sprzeczność ustanawia nieistnienie niekurczliwych pętli w pierwszym przypadku i niemożliwość braku orientacji w drugim przypadku.

Alan Weinstein później przeformułował dowód, aby ustalić stałe punkty izometrii , a nie właściwości topologiczne leżącej u podstaw rozmaitości.

Źródła.

•     do Carmo, Manfredo Perdigão (1992). geometria riemannowska . Matematyka: teoria i zastosowania (przetłumaczone z drugiego portugalskiego wydania oryginalnego wydania z 1979 r.). Boston, MA: Birkäuser Boston . ISBN 978-0-8176-3490-2 . MR 1138207 . Zbl 0752.53001 .
•     Jost, Jurgen (2017). Geometria riemannowska i analiza geometryczna . Universitext (siódme wydanie oryginalnego wydania z 1995 r.). Springer, Cham . doi : 10.1007/978-3-319-61860-9 . ISBN 978-3-319-61859-3 . MR 3726907 . Zbl 1380.53001 .
•     Petersena, Piotra (2016). geometria riemannowska . Absolwent Teksty z matematyki . Tom. 171 (trzecie wydanie z 1998 r. Wyd. Oryginalne). Springer, Cham . doi : 10.1007/978-3-319-26654-1 . ISBN 978-3-319-26652-7 . MR 3469435 . Zbl 1417.53001 .
•    Synge, John Lighton (1936). „O łączności przestrzeni o dodatniej krzywiźnie”. Kwartalnik Matematyki . Seria Oxford. 7 (1): 316–320. doi : 10.1093/qmath/os-7.1.316 . JFM 62.0861.04 . Zbl 0015.41601 .