Twierdzenie motyla

Twierdzenie motyla jest klasycznym wynikiem geometrii euklidesowej , który można sformułować w następujący sposób:

Niech $M$ będzie środkiem cięciwy PQ koła , $przez którą$ poprowadzone są dwie inne cięciwy $AB$ i $CD ;$ $AD$ i $BC$ przecinają cięciwę $PQ$ odpowiednio w $X$ i $Y.$ Wtedy $M$ jest środkiem $XY$ .

Dowód

Dowód twierdzenia Butterfly'a

Formalny dowód twierdzenia jest następujący: Niech prostopadłe $XX'$ i $XX″$ zostaną opuszczone z punktu $X$ na proste $AM$ i $DM$ odpowiednio. Podobnie niech $YY'$ i $YY″$ wypadną z punktu $Y$ prostopadłego do prostych odpowiednio $BM$ i $CM .$

Od

{\ Displaystyle \ trójkąt MXX '\ sim \ trójkąt MYY'}

{\ Displaystyle {MX \ nad MÓJ} = { XX '\ ponad YY'},}

{\ Displaystyle \ trójkąt MXX ''\ sim \ trójkąt MYY'',}

{\ Displaystyle {MX \ nad MÓJ} = {XX '' \ ponad YY''},}

{\ Displaystyle \ trójkąt AXX '\ sim \ trójkąt CYY''}

{\ Displaystyle {XX '\ nad YY''} = {AX \ nad CY},}

{\ Displaystyle \ trójkąt DXX''\sim \trójkąt BYY',}

{\ Displaystyle {XX'' \ ponad YY'} = {DX \ ponad BY}.}

Widać to z poprzednich równań i twierdzenia o przecinających się cięciwach

{\ Displaystyle \ lewo ({MX \ nad MÓJ} \ prawo) ^ {2} = {XX '\ nad YY'} { XX '' \ ponad YY''},}

{\ Displaystyle {} = {AX \ cdot DX \ ponad CY \ cdot BY},}

{\ Displaystyle {} = {PX \ cdot QX \ ponad PY \ cdot QY}}

{\ Displaystyle {} = {(PM-XM) \ cdot (MQ + XM) \ ponad (PM + MY) \ cdot (QM-MY)},}

{\ Displaystyle {} = {(PM) ^ {2} - (MX) ^ {2} \ ponad (PM) ^ {2} - ( MÓJ)^{2}},}

ponieważ $PM = MQ$ .

Więc

{\ Displaystyle {(MX) ^ {2} \ ponad (MY) ^ {2}} = {(PM) ^ {2} - (MX) ^ {2} \ ponad (PM) ^ {2} - (MÓJ )^{2}}.}

Mnożenie krzyżowe w tym ostatnim równaniu,

{\ Displaystyle {(MX) ^ {2} \ cdot (PM) ^ {2} - (MX) ^ {2} \ cdot (MY) ^ {2}} = {(MY) ^ {2} \ cdot ( PM)^{2}-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}.}

Anulowanie wspólnego terminu

{\ Displaystyle {- (MX) ^ {2} \ cdot (MY) ^ {2}}}

z obu stron wynikowego równania daje

{\ Displaystyle {(MX) ^ {2} \ cdot (PM) ^ {2}} = {(MÓJ) ^{2}\cdot (PM)^{2}},}

stąd $MX = MY$ , ponieważ MX, MY i PM są dodatnimi liczbami rzeczywistymi.

Zatem $M$ jest środkiem $XY$ .

Istnieją inne dowody, w tym jeden wykorzystujący geometrię rzutową.

Historia

Udowodnienie twierdzenia motyla zostało postawione jako problem przez Williama Wallace'a w The Gentlemen's Mathematical Companion (1803). Trzy rozwiązania zostały opublikowane w 1804 r., Aw 1805 r. Sir William Herschel ponownie zadał pytanie w liście do Wallace'a. Wielebny Thomas Scurr ponownie zadał to samo pytanie w 1814 roku w Gentlemen's Diary lub Mathematical Repository .

Linki zewnętrzne

Twierdzenie motyla i przecięcie węzła
Lepsze twierdzenie motyla przy przecięciu węzła
Dowód twierdzenia motyla w PlanetMath
The Butterfly Theorem autorstwa Jaya Warendorffa, projekt Wolfram Demonstrations .
Weisstein, Eric W. „Twierdzenie motyla” . MathWorld .