Twierdzenie o obiegu Kelvina

W mechanice płynów twierdzenie o obiegu Kelvina (nazwane na cześć Williama Thomsona, pierwszego barona Kelvina , który opublikował je w 1869 r.) stwierdza:

W barotropowym , idealnym płynie z zachowawczymi siłami ciała, obieg wokół zamkniętej krzywej (obejmującej te same elementy płynu) poruszającej się wraz z płynem pozostaje stały w czasie.

Podane matematycznie:

$\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {D} \ Gamma} {\ operatorname {D} t}} = 0}$

gdzie jest obiegiem ${\ displaystyle C (t).}$ materiału $t$ Mówiąc prościej, twierdzenie to mówi, że jeśli obserwuje się zamknięty kontur w jednej chwili i podąża za konturem w czasie (śledząc ruch wszystkich jego płynnych elementów), krążenie nad dwa położenia tego konturu są równe.

Twierdzenie to nie obowiązuje w przypadkach naprężeń lepkich , niezachowawczych sił ciała (na przykład siły Coriolisa ) lub niebarotropowych relacji ciśnienie-gęstość.

Dowód matematyczny

Zobacz też: równania Eulera (dynamika płynów)

Cyrkulacja wokół zamkniętego konturu materiału $displaystyle C (t)}$ określona przez: do $\$

$\ Displaystyle \ Gamma (t) = \ oint _ {C} {\ boldsymbol {u}} \ cdot \ operatorname {d} {\ boldsymbol {s}}}$

gdzie u jest wektorem prędkości, a ds jest elementem wzdłuż zamkniętego konturu.

Obowiązujące równanie dla nielepkiego płynu z konserwatywną siłą ciała to

${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {D} {\ boldsymbol {u}}} {\ operatorname {D} t}} = - {\ Frac {1} {\rho}}{\boldsymbol {\nabla}}p+{\boldsymbol {\nabla}}\Phi}$

gdzie D/D t jest pochodną konwekcyjną , ρ jest gęstością płynu, p jest ciśnieniem, a Φ jest potencjałem siły działającej na ciało. To są równania Eulera z siłą ciała.

Warunek barotropowości oznacza, że ​​gęstość jest funkcją tylko ciśnienia, tj. ${\ Displaystyle \ rho = \ rho (p)}$ .

Biorąc konwekcyjną pochodną cyrkulacji daje

${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {D} \ Gamma} {\ operatorname {D} t}} = \ oint _ {C} {\ Frac {\ operatorname {D} {\ boldsymbol {u}}} {\ mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d } {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}.}$

Dla pierwszego wyrazu podstawiamy z rządzącego równania, a następnie stosujemy twierdzenie Stokesa , w ten sposób:

${\ Displaystyle \ oint _ {C} {\ Frac {\ operatorname {D} {\ boldsymbol {u}}} {\ operatorname {D} t}} \ cdot \ operatorname {d} {\ boldsymbol {s}} = \int _{A}{\boldsymbol {\nabla }}\times \left(-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=\int _{A}{\frac {1}{\rho ^{2}}}\left({\boldsymbol {\ nabla }}\rho \times {\boldsymbol {\nabla}}p\right)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=0.}$

Ostateczna $powodu$ z Wykorzystaliśmy również fakt, że zwinięcie dowolnego gradientu jest koniecznie 0 lub ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ razy {\ boldsymbol {\ nabla}} f = 0$ } dowolna funkcja ${\ displaystyle f}$ .

Dla drugiego członu zauważamy, że ewolucja materialnego elementu liniowego jest dana przez

${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {D} \ operatorname {d} {\ boldsymbol {s}}} {\ operatorname {D} t}} = \ lewo (\ operatorname {d} {\ boldsymbol {s}} \cdot {\boldsymbol {\nabla}}\right){\boldsymbol {u}}.}$

Stąd

${\ Displaystyle \ oint _ {C} {\ boldsymbol {u}} \ cdot {\ Frac {\ operatorname {D} \ operatorname {d} {\ boldsymbol {s}}} {\ operatorname {D} t}} = \oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \left(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {\nabla}}\right){\boldsymbol {u}} ={\frac {1}{2}}\oint _{C}{\boldsymbol {\nabla }}\left(|{\boldsymbol {u}}|^{2}\right)\cdot \mathrm {d } {\boldsymbol {s}}=0.}$

Ostatnią równość uzyskuje się stosując twierdzenie o gradiencie .

Ponieważ oba wyrazy są zerowe, otrzymujemy wynik

${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {D} \ Gamma} {\ operatorname {D} t}} = 0.}$

Twierdzenie Poincarégo – Bjerknesa o cyrkulacji

Podobną zasadę, która zachowuje wielkość, można również uzyskać dla obracającej się ramy, znanej jako twierdzenie Poincaré – Bjerknesa , nazwanej na cześć Henri Poincaré i Vilhelma Bjerknesa , którzy wyprowadzili niezmiennik w 1893 i 1898 r. Twierdzenie można zastosować do obracającej się ramy który obraca się ze stałą prędkością kątową określoną przez wektor dla zmodyfikowanego obiegu ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}}}$

${\ Displaystyle \ Gamma (t) = \ oint _ {C} ({\ boldsymbol {u}} + {\ boldsymbol {\ Omega}} \ razy {\boldsymbol {r}}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}$

Tutaj $.$ położenie obszaru płynu Z twierdzenia Stokesa wynika, że:

${\ Displaystyle \ Gamma (t) = \ int _ {A} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ razy ({\ boldsymbol {u}} + {\ boldsymbol {\ Omega}} \ razy {\ boldsymbol {r} })\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=\int _{A}({\boldsymbol {\nabla}}\times {\boldsymbol {u}}+2{\boldsymbol { \Omega}})\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S}$

Wirowość pola prędkości w dynamice płynów jest określona przez :

${\ Displaystyle {\ pogrubiony symbol {\ omega}} = {\ pogrubiony symbol {\ nabla}} \ razy {\ pogrubiony symbol {u}}}$

Następnie:

${\ Displaystyle \ Gamma (t) = \ int _ {A} ({\ boldsymbol {\ omega}} + 2 {\ boldsymbol {\ omega} })\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S}$

Zobacz też

• Zasada Bernoulliego
• Równania Eulera (dynamika płynów)
• Twierdzenia Helmholtza
• Konwekcja termomagnetyczna