Twierdzenie o odbiciu

W algebraicznej teorii liczb twierdzenie o odbiciu lub Spiegelungssatz ( po niemiecku twierdzenie o odbiciu - patrz Spiegel i Satz ) jest jednym ze zbioru twierdzeń łączących rozmiary różnych grup klas idealnych (lub grup klas promieni ) lub rozmiary różnych składników izotypowych grupy klasowej. Oryginalny przykład pochodzi od Ernsta Eduarda Kummera , który wykazał, że numer klasy pola cyklotomicznego ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} \ lewo (\ zeta _ {p} \ prawo)}$ , gdzie p jest liczbą pierwszą, będzie podzielna przez p , jeśli numer klasy maksymalnego rzeczywistego podciała ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} \ lewo (\ zeta _ {p} \ prawo) ^ {+}}$ jest. Inny przykład pochodzi od Scholza. Uproszczona wersja jego twierdzenia stwierdza, że jeśli 3 dzieli numer klasy rzeczywistego ciała kwadratowego ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} \ lewy({\sqrt {-3d}}\prawy)}$ dzieli również numer klasy urojonego pola kwadratowego. $re$ .

Spiegelungssatz Leopoldta

Obydwa powyższe wyniki zostały uogólnione za pomocą „Spiegelungssatz” Leopoldta , który wiąże szeregi p różnych składowych izotypowych grupy klas pola liczbowego traktowanego jako moduł nad grupą Galois rozszerzenia Galois.

Niech L / K będzie skończonym rozszerzeniem Galoisa pól liczbowych, z grupą G , stopniem pierwszym do p i L zawierającym p -ty pierwiastek jedności. Niech A będzie podgrupą p -Sylow grupy klasowej L . Niech φ przebiega po nieredukowalnych znakach pierścienia grupowego Q _p [ G ] i niech A _φ oznacza odpowiednie sumy bezpośrednie A . Dla dowolnego φ niech q = p ^φ(1) i niech ranga G e _φ będzie wykładnikiem indeksu

{\ Displaystyle [A _ {\ phi}: A _ {\ phi} ^ {p}] = q ^ {e _ {\ phi}}.}

Niech ω będzie znakiem G

{\ Displaystyle \ zeta ^ {g} = \ zeta ^ {\ omega (g)} {\ tekst {dla}} \ zeta \ in \ mu _ {p}.}

Odbicie ( Spiegelung ) φ ^* jest określone przez

{\ Displaystyle \ phi ^ {*} (g) = \ omega (g) \ phi (g ^ {- 1}).}

₀₀ Niech E będzie grupą jednostkową K . Mówimy, że ε jest „pierwotne” $niech$ oznacza grupę podstawowych modulo E ^s . . Niech δ _φ oznacza stopień G składnika φ E .

Tak twierdzi Spiegelungssatz

{\ Displaystyle | e _ {\ phi ^ {*}} -e _ {\ phi} | \ równoważnik \ delta _ {\ phi}.}

Rozszerzenia

Rozszerzenia tego Spiegelungssatz zostały podane przez Oriat i Oriat-Satge, gdzie grupy klasowe nie były już powiązane z postaciami z grupy Galois z K / k , ale raczej z ideałami w pierścieniu grupowym nad grupą Galois z K / k . Spiegelungssatz Leopoldta został uogólniony w innym kierunku przez Kurodę, który rozszerzył je do stwierdzenia o grupach klas promieni . Zostało to dalej rozwinięte w bardzo ogólne „ T - S o odbiciu” Georges’a Grasa. Kenkichi Iwasawa przedstawił również teoretyczne twierdzenie o odbiciu Iwasawy .

Kocha, Helmuta (1997). Algebraiczna teoria liczb . Encyklika Matematyka. Nauka. Tom. 62 (drugi druk pierwszego wydania). Springer-Verlag . s. 147–149. ISBN 3-540-63003-1 . Zbl 0819.11044 .