Zasada odbicia

W teorii mnogości , gałęzi matematyki , zasada refleksji mówi, że można znaleźć zbiory przypominające klasę wszystkich zbiorów. Istnieje kilka różnych form zasady odbicia, w zależności od tego, co dokładnie oznacza „podobny”. Słabymi postaciami zasady odbicia są twierdzenia teorii mnogości ZF autorstwa Montague'a (1961) , podczas gdy silniejsze formy mogą stanowić nowe i bardzo potężne aksjomaty teorii mnogości.

Nazwa „zasada odbicia” wywodzi się z faktu, że właściwości wszechświata wszystkich zbiorów są „odzwierciedlane” aż do mniejszego zbioru.

Motywacja

Naiwna wersja zasady odbicia stwierdza, że „dla dowolnej właściwości wszechświata wszystkich zbiorów możemy znaleźć zbiór o tej samej własności”. Prowadzi to do natychmiastowej sprzeczności: wszechświat wszystkich zbiorów zawiera wszystkie zbiory, ale nie ma zbioru mającego tę własność, że zawiera wszystkie zbiory. Aby uzyskać przydatne (i niesprzeczne) zasady refleksji, musimy bardziej uważać na to, co rozumiemy przez „właściwość” i jakie właściwości dopuszczamy.

Aby znaleźć niesprzeczne zasady refleksji, możemy nieformalnie argumentować w następujący sposób. Załóżmy, że mamy zbiór A metod tworzenia zbiorów (na przykład przyjmowanie zbiorów potęgowych , podzbiorów , aksjomatu zastępowania itd.). Możemy sobie wyobrazić wzięcie wszystkich zbiorów uzyskanych poprzez wielokrotne zastosowanie wszystkich tych metod i uformowanie tych zbiorów w klasę V , którą można traktować jako model jakiejś teorii zbiorów. Ale teraz możemy wprowadzić następującą nową zasadę tworzenia zbiorów: „zbiór wszystkich zbiorów uzyskanych z jakiegoś zbioru poprzez wielokrotne zastosowanie wszystkich metod ze zbioru A jest także zbiorem”. Jeśli dopuścimy tę nową zasadę do tworzenia zbiorów, możemy teraz przejść do V i rozważyć klasę W wszystkich zbiorów utworzonych przy użyciu zasad A i nowej zasady. W tej klasie W , V jest po prostu zbiorem zamkniętym pod wszystkimi operacjami tworzącymi zbiór A . Innymi słowy, wszechświat W zawiera zbiór V , który przypomina W w tym sensie, że jest zamknięty wszystkimi metodami A .

Możemy użyć tego nieformalnego argumentu na dwa sposoby. Możemy spróbować sformalizować to w (powiedzmy) teorii mnogości ZF; w ten sposób otrzymujemy pewne twierdzenia teorii mnogości ZF, zwane twierdzeniami o odbiciu. Alternatywnie możemy użyć tego argumentu, aby zmotywować wprowadzenie nowych aksjomatów dla teorii mnogości.

Zasady refleksji kojarzą się z próbami sformułowania poglądu, że żadne pojęcie, idea, stwierdzenie nie jest w stanie uchwycić całego naszego poglądu na wszechświat zbiorów . Kurt Gödel opisał to w następujący sposób:

Wszechświat wszystkich zbiorów jest strukturalnie niedefiniowalny. Jeden z możliwych sposobów uściślenia tego stwierdzenia jest następujący: Wszechświat zbiorów nie może być jednoznacznie scharakteryzowany (tj. odróżniony od wszystkich jego początkowych segmentów) przez jakąkolwiek wewnętrzną właściwość strukturalną relacji przynależności w nim zawartej, która daje się wyrazić w dowolnej logice skończonej lub pozaskończony , w tym nieskończona logika dowolnej liczby kardynalnej . Zasadę tę można uznać za uogólnienie domknięcia .

— 8.7.3, s. 2. 280

Wszystkie zasady ustalania aksjomatów teorii mnogości należy sprowadzić do zasady Ackermanna : Absolut jest niepoznawalne. Siła tej zasady wzrasta w miarę, jak uzyskujemy coraz silniejsze systemy teorii mnogości. Pozostałe zasady są jedynie zasadami heurystycznymi. Stąd główną zasadą jest zasada refleksji, która prawdopodobnie będzie lepiej rozumiana w miarę zwiększania się naszego doświadczenia. Tymczasem pomaga wyodrębnić bardziej szczegółowe zasady, które albo dostarczają dodatkowych informacji, albo nie są jeszcze wyraźnie widoczne jako dające się wyprowadzić z zasady refleksji w jej obecnym rozumieniu.

— 8.7.9, s. 2. 283

Generalnie uważam, że w ostatecznym rozrachunku każdy aksjomat nieskończoności powinien wynikać z (niezwykle prawdopodobnej) zasady, że V jest niedefiniowalne, gdzie definiowalność należy rozumieć w coraz bardziej uogólnionym i wyidealizowanym sensie.

— 8.7.16, s. 2. 285

Podobne poglądy na temat Absolutnej Nieskończoności wyraził Georg Cantor : Wszystkie właściwości liczności są spełnione w tej liczbie, w której posiadany jest mniejszy kardynał.

W ZFC

Próbując sformalizować argument na rzecz zasady odbicia z poprzedniej części teorii mnogości ZF, okazuje się konieczne dodanie kilku warunków dotyczących zbioru właściwości A (na przykład A może być skończone). W ten sposób powstaje kilka ściśle powiązanych „twierdzeń o odbiciu” ZFC, z których wszystkie stwierdzają, że możemy znaleźć zbiór, który jest prawie modelem ZFC.

Jedna z form zasady odbicia w ZFC mówi, że dla dowolnego skończonego zbioru aksjomatów ZFC możemy znaleźć policzalny model przechodni spełniający te aksjomaty. (W szczególności dowodzi to, że ZFC, jeśli nie jest niespójne, nie jest skończenie aksjomatyzowalne, ponieważ gdyby tak było, udowodniłoby istnienie własnego modelu, a tym samym udowodniłoby swoją własną spójność, zaprzeczając drugiemu twierdzeniu Gödla o niezupełności.) Ta wersja twierdzenia o odbiciu jest ściśle powiązane z twierdzeniem Löwenheima – Skolema .

Inna wersja zasady odbicia mówi, że dla dowolnej skończonej liczby formuł ZFC możemy znaleźć zbiór V _α w hierarchii kumulatywnej taki, że wszystkie formuły w tym zbiorze są absolutne dla V _α (co oznacza z grubsza, że spełniają one V _α wtedy i tylko wtedy, gdy obowiązują we wszechświecie wszystkich zbiorów). To mówi, że zbiór V _α przypomina wszechświat wszystkich zbiorów, przynajmniej jeśli chodzi o daną skończoną liczbę formuł. W szczególności dla dowolnego wzoru ZFC istnieje twierdzenie ZFC, że wzór jest logicznie równoważny jego wersji ze wszystkimi kwantyfikatorami zrelatywizowanymi do V _α . Patrz ( Jech 2002 , s. 168).

Jeśli κ jest silnym i niedostępnym kardynałem , to istnieje zamknięty, nieograniczony podzbiór C κ , taki że dla każdego α ∈ C funkcja tożsamości od V _α do V _κ jest elementarnym osadzeniem.

$twierdzenia$ , który można opisać w następujący sposób: Niech formułą zawierającą co najwyżej wolne zmienne. ${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_{n}}$ . Następnie ZFC to potwierdza

{\ Displaystyle (\ forall N) (\ istnieje M {\ supseteq} N) (\ forall x_ {1},\ldots ,x_{n}{\in }M)(\phi \leftrightarrow \phi ^{M})}

gdzie $M$ relatywizację (to znaczy zastąpienie wszystkich $\ phi ^ {$ występujących w postaci ϕ $displaystyle$ $}$ \ } ${\ Displaystyle \ forall x}$ i ${\ Displaystyle \ istnieje x}$ o ${\ Displaystyle \ forall x {\ w} M}$ i odpowiednio ${\ displaystyle \ istnieje x {\ w} M} ).$

Jako nowe aksjomaty

Teoria klas Bernaysa

Paul Bernays użył zasady odbicia jako aksjomatu dla jednej wersji teorii mnogości (a nie teorii mnogości Von Neumanna – Bernaysa – Gödla , która jest teorią słabszą). Jego zasada refleksji stwierdzała z grubsza, że jeśli A jest klasą o jakiejś własności, to można znaleźć zbiór przechodni u taki, że A∩u ma tę samą własność, gdy jest rozpatrywany jako podzbiór „wszechświata” u . Jest to dość potężny aksjomat, który implikuje istnienie kilku mniejszych, dużych kardynałów , takich jak kardynały niedostępne . (Z grubsza rzecz biorąc, klasa wszystkich liczb porządkowych w ZFC jest liczbą kardynalną niedostępną, z tym wyjątkiem, że nie jest zbiorem, a zasadę odbicia można następnie zastosować, aby pokazać, że istnieje zbiór o tej samej właściwości, innymi słowy to jest niedostępny kardynał.) Niestety, nie można tego aksjomatyzować bezpośrednio w ZFC i zwykle należy zastosować teorię klas, taką jak teoria mnogości Morse'a-Kelleya . Spójność zasady refleksji Bernaysa wynika z istnienia kardynała ω-Erdősa .

Dokładniej, aksjomaty teorii klas Bernaysa to:

ekstensjonalność
specyfikacja klasy : dla dowolnej formuły ${\ displaystyle a}$ za $za$ ${\ displaystyle \ istnieje a \ dla wszystkich b (b \ in a\leftrightarrow \phi \land b{\text{jest zbiorem}})}$ ,
podzbiory : ${\ displaystyle b \ podseteq a \ ziemia a {\ tekst {jest zbiorem}} \ do b {\ tekst {jest zbiorem}}}$
odbicie: dla dowolnego wzoru ${\ Displaystyle \ phi}$ , ${\ Displaystyle \ phi (A) \ do \ istnieje u ( u{\text{jest zbiorem przechodnim}}\land \phi ^{{\mathcal {P}}u}(A\cap u))}$
Fundacja
wybór

gdzie $_$ zestaw mocy .

Według Akihiro Kanamori w artykule z 1961 roku Bernays rozważał schemat odbicia

{\ Displaystyle \ phi \ do \ istnieje x ({\ tekst {przechodni}} (x) \ ziemia \ phi ^ {x})}

dla dowolnego wzoru $,$ wolnego gdzie $} (x)}$ $displaystyle {\ tekst {przechodni$ zapewnia, że ${\ displaystyle x}$ jest przechodni . Zaczynając od obserwacji, która ustawia parametry, może pojawić się w i $za$ $ldots, a_ {n}}$ Można wymagać ich uwzględnienia, wprowadzając klauzule ${\ displaystyle \ istnieje y (a_ {i} \ w y)}$ $do$ , Bernays tylko z ${\ displaystyle \ phi}$ schemat ten zakładał parowanie , sumowanie , nieskończoność i zastępowanie , w efekcie osiągając niezwykle ekonomiczną prezentację ZF .

Inni

Niektóre sformułowania teorii mnogości Ackermanna wykorzystują zasadę odbicia. Aksjomat Ackermanna stwierdza, że dla dowolnego wzoru $displaystyle$ wspominając o $V$ }

{\ Displaystyle a \ w V \ ziemia b \ w V \ do \ forall x ( \phi \to x\in V)\to \istnieje u{\in }V\forall x(x\in u\leftrightarrow \phi )}

Peter Koellner wykazał, że ogólna klasa zasad refleksji uznawanych za „wewnętrznie uzasadnione” jest albo niespójna , albo słaba, w tym sensie, że jest spójna w stosunku do kardynała Erdösa . Istnieją jednak potężniejsze zasady refleksji, które są ściśle powiązane z różnymi dużymi aksjomatami kardynalnymi. Dla prawie każdego znanego dużego aksjomatu kardynalnego istnieje znana zasada odbicia, która go implikuje, i odwrotnie, wszystkie oprócz najpotężniejszych znanych zasad odbicia wynikają ze znanych dużych aksjomatów kardynalnych. Przykładem tego jest aksjomat całości , co implikuje istnienie super- n -ogromnych kardynałów dla wszystkich skończonych n , a jego spójność wynika z kardynału I3 ranga po rangi .

Dodaj aksjomat mówiący, że Ord jest kardynałem Mahlo — dla każdej zamkniętej, nieograniczonej klasy liczb porządkowych C (definiowanych za pomocą wzoru z parametrami) istnieje liczba porządkowa regularna w C . Pozwala to wyprowadzić istnienie silnych, niedostępnych kardynałów i znacznie więcej w stosunku do dowolnej liczby porządkowej.

Jech, Thomas (2002), Teoria mnogości, wydanie trzecie tysiąclecie (poprawione i rozszerzone) , Springer, ISBN 3-540-44085-2
Kunen, Kenneth (1980), Teoria mnogości: wprowadzenie do dowodów niepodległościowych , North-Holland, ISBN 0-444-85401-0
Lévy, Azriel (1960), „Axiom schematy silnej nieskończoności w aksjomatycznej teorii mnogości” , Pacific Journal of Mathematics , 10 : 223–238, doi : 10.2140/pjm.1960.10.223 , ISSN 0030-8730 , MR 0124205
Montague, Richard (1961), „Dodatek Fraenkla do aksjomatów Zermelo”, w: Bar-Hillel, Yehoshua; Poznański, EIJ; Rabin, MO; Robinson, Abraham (red.), Eseje o podstawach matematyki , Hebrew Univ., Jerozolima: Magnes Press, s. 91–114, MR 0163840
Reinhardt, WN (1974), „Uwagi o zasadach refleksji, dużych kardynałach i elementarnych osadzaniach.”, Aksjomatyczna teoria mnogości , Proc. Sympozja. Czysta matematyka, tom. XIII, część II, Providence, RI: Amer. Matematyka. Soc., s. 189–205, MR 0401475

Linki zewnętrzne

Dowód systemu Mizar : http://mizar.org/version/current/html/zf_refle.html