Twierdzenie o pętli

W matematyce, w topologii 3-rozmaitości , twierdzenie o pętli jest uogólnieniem lematu Dehna . Twierdzenie o pętli zostało po raz pierwszy udowodnione przez Christosa Papakyriakopoulosa w 1956 roku wraz z lematem Dehna i twierdzeniem o kuli .

Prosta i użyteczna wersja twierdzenia o pętli mówi, że jeśli dla jakiejś trójwymiarowej rozmaitości M z brzegiem ∂M istnieje mapa

${\ Displaystyle f \ dwukropek (D ^ {2}, \ częściowy D ^ {2}) \ do (M, \ częściowy M)}$

z $^ {2}}$$częściowy$ nie nullhomotopic w to jest osadzanie z tą samą właściwością.

Następująca wersja twierdzenia o pętli, dzięki Johnowi Stallingsowi , jest podana w standardowych traktatach o 3 rozmaitościach (takich jak Hempel czy Jaco):

Niech będzie 3-rozmaitością $i$ niech będzie połączoną powierzchnią w $częściowy M$$displaystyle$ } Niech ${\ Displaystyle N \ podzbiór \ pi _ {1} (S)}$ będzie normalną podgrupą taką, że ${\ Displaystyle \ mathop {\ operatorname {ker}} (\ pi _ {1} (S) \ do \ pi _ {1} (M)) -N \ neq \ pusty zbiór}$ . Pozwalać

${\ Displaystyle f \ dwukropek D ^ {2} \ do M}$

będzie mapą ciągłą taką, że

${\ Displaystyle f (\ częściowy D ^ {2}) \ podzbiór S}$

I

${\ Displaystyle [f | \ częściowe D ^ {2}] \ notin N.}$

Następnie istnieje osadzenie

${\ Displaystyle g \ dwukropek D ^ {2} \ do M}$

takie że

${\ Displaystyle g (\ częściowy D ^ {2}) \ podzbiór S}$

I

${\ Displaystyle [g | \ częściowe D ^ {2}] \ notin N.}$

Ponadto, jeśli zaczyna się od mapy f w pozycji ogólnej, to dla dowolnego sąsiedztwa U zbioru osobliwości f , możemy znaleźć takie g z obrazem leżącym wewnątrz unii obrazów f i U.

Dowód Stallinga wykorzystuje adaptację, dzięki Whiteheadowi i Shapiro, „konstrukcji wieży” Papakyriakopoulosa. „Wieża” odnosi się do specjalnej sekwencji osłon zaprojektowanych w celu uproszczenia podnoszenia danej mapy. Tej samej konstrukcji wieży użył Papakyriakopoulos do udowodnienia twierdzenia o kuli (3-rozmaitości) , które stwierdza, że ​​nietrywialne odwzorowanie kuli w 3-rozmaitości implikuje istnienie nietrywialnego osadzania kuli. Istnieje również wersja lematu Dehna dla minimalnych dysków ze względu na Meeksa i S.-T. Yau, który również w decydujący sposób opiera się na konstrukcji wieży.

Istnieje dowód nie wykorzystujący konstrukcji wieży pierwszej wersji twierdzenia o pętli. Zostało to zasadniczo zrobione 30 lat temu przez Friedhelma Waldhausena w ramach jego rozwiązania problemu tekstowego dla rozmaitości Hakena ; chociaż uznał, że jest to dowód twierdzenia o pętli, nie napisał szczegółowego dowodu. Zasadniczym składnikiem tego dowodu jest koncepcja hierarchii Hakena . Dowody zostały później spisane przez Klausa Johannsona, Marca Lackenby'ego i Iaina Aitchisona wraz z Hyamem Rubinsteinem .

• W. Jaco, Lectures on 3-manifolds topology , regionalna seria konferencji AMS z matematyki 43.
• J. Hempel, 3-rozmaitości , Princeton University Press 1976.
• Hatcher, Uwagi na temat podstawowej topologii 3-rozmaitościowej , dostępne online