Lemat Dehna
W matematyce lemat Dehna twierdzi , że odcinkowo-liniowa mapa dysku na 3-rozmaitość , z osobliwością mapy ustawioną we wnętrzu dysku , implikuje istnienie innej odcinkowo- liniowej mapy dysku, która jest osadzeniem i jest identyczna do oryginału na granicy dysku.
Uważano, że to twierdzenie zostało udowodnione przez Maxa Dehna ( 1910 ), ale Hellmuth Kneser ( 1929 , strona 260) znalazł lukę w dowodzie. Status lematu Dehna pozostawał wątpliwy, dopóki Christos Papakyriakopoulos ( 1957 , 1957b ) na podstawie pracy Johanssona (1938) nie udowodnił tego za pomocą swojej „konstrukcji wieży”. Uogólnił również twierdzenie na twierdzenie o pętli i twierdzenie o kuli .
Konstrukcja wieży
Papakyriakopoulos udowodnił lemat Dehna za pomocą wieży pokrywającej przestrzenie . Wkrótce potem Arnold Shapiro i JHC Whitehead ( 1958 ) przedstawili znacznie prostszy dowód, wykazując mocniejszy wynik. Ich dowód wykorzystał konstrukcję wieży Papakyriakopoulosa, ale z podwójnymi osłonami, jak następuje:
- Krok 1: Wielokrotnie bierz połączoną podwójną pokrywę z regularnego sąsiedztwa obrazu dysku, aby utworzyć wieżę przestrzeni, z których każda jest połączoną podwójną pokrywą tej pod nią. Mapę z dysku można podnieść na wszystkie poziomy tej wieży. Każda podwójna osłona upraszcza osobliwości osadzenia dysku, więc można wziąć tylko skończoną liczbę takich podwójnych osłon, a najwyższy poziom tej wieży nie ma połączonych podwójnych osłon.
- Krok 2. Jeśli 3-rozmaitość nie ma połączonych podwójnych osłon, to wszystkie jej składowe brzegowe są 2-sferami. W szczególności najwyższy poziom wieży ma tę właściwość iw tym przypadku łatwo zmodyfikować mapę z dysku tak, aby była osadzona.
- Krok 3. Osadzenie dysku można teraz przesuwać krok po kroku w dół wieży podwójnych okładek, wycinając i wklejając 2-dyski.
- Bing, RH (1983), The Geometric Topology of 3-manifolds , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , s. 183, ISBN 0-8218-1040-5
- Dehn, Max (1910), „Über die Topologie des dreidimensionalen Raumes” , Mathematische Annalen , 69 : 137–168, doi : 10.1007/BF01455155 , S2CID 121316558
- Jakub, William; Rubinstein, Hyam (1989), „Chirurgia równoważna PL i niezmienne rozkłady 3-rozmaitości”, Postępy matematyki , 73 (2): 149–191, doi : 10,1016 / 0001-8708 (89) 90067-4
- Johansson , Ingebrigt ( 1935 ) _ _ _ _ _ _
- Johansson, Ingebrigt (1938), "Teil 2, Thematische Annalen", Mathematische Annalen , 115 : 658–669, doi : 10.1007/BF01448964 , S2CID 121541094
- Kneser, Hellmuth (1929), "Geschlossene Flächen in dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten" , Jber. niemiecki. Matematyka Vereina. , 38 : 248–260
- Papakyriakopoulos, CD (1957), „O lemacie Dehna i asferyczności węzłów”, Proc. Natl. Acad. nauka USA , 43 (1): 169–172, Bibcode : 1957PNAS...43..169P , doi : 10.1073/pnas.43.1.169 , MR 0082671 , PMC 528404 , PMID 16589993
- Papakyriakopoulos, CD (1957b), „O lemacie Dehna i asferyczności węzłów”, Annals of Mathematics , 66 (1): 1–26, doi : 10,2307/1970113 , JSTOR 1970113 , MR 0090053 , PMC 528404 , PMID 165 89993
- Rubinstein, JH (2003), Lemat Dehna i twierdzenie o pętli , Topologia niskowymiarowa, nowe studia w zaawansowanej matematyce , tom 3 International Press, s. 61–68
- Stallings, JR (1971), Teoria grup i rozmaitości trójwymiarowe , Yale University Press , ISBN 0-300-01397-3
- Shapiro, Arnold ; Whitehead, JHC (1958), „Dowód i rozszerzenie lematu Dehna” , Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , AMS, 64 (4): 174–178, doi : 10.1090 / S0002-9904-1958-10198-6