Twierdzenie o strukturze Chevalleya
W geometrii algebraicznej twierdzenie o strukturze Chevalleya stwierdza , że gładko połączona grupa algebraiczna nad doskonałym polem ma unikalną normalnie połączoną afiniczną podgrupę algebraiczną, taką że iloraz jest rozmaitością abelową . Udowodnili to Chevalley (1960) (choć wcześniej ogłosił wynik w 1953), Barsotti ( 1955a , 1955b ) i Rosenlicht (1956) .
Oryginalny dowód Chevalleya i inne wczesne dowody Barsottiego i Rosenlichta wykorzystywały pomysł odwzorowania grupy algebraicznej na jej odmianę albańską . Oryginalne dowody były oparte na książce Weila Podstawy geometrii algebraicznej i są trudne do zrozumienia dla każdego, kto nie jest zaznajomiony z podstawami Weila, ale Conrad (2002) później przedstawił dowód Chevalleya w terminologii teorii schematów.
Nad polami niedoskonałymi nadal istnieje najmniejsza normalnie połączona podgrupa liniowa, taka że iloraz jest rozmaitością abelową, ale podgrupa liniowa nie musi być gładka.
Konsekwencją twierdzenia Chevalleya jest to, że każda grupa algebraiczna na ciele jest quasi-rzutowa.
Przykłady
Istnieje kilka naturalnych konstrukcji, które dają połączone grupy algebraiczne, które nie są ani afiniczne, ani kompletne.
- 0 Jeśli C jest krzywą z efektywnym dzielnikiem m , to ma skojarzony uogólniony Jakobian J m . Jest to przemienna grupa algebraiczna, która odwzorowuje jakobianową odmianę J of C z jądrem afinicznym. Zatem J jest rozszerzeniem rozmaitości abelowej o afiniczną grupę algebraiczną. Ogólnie rzecz biorąc, to rozszerzenie nie dzieli się.
- Zredukowana spójna składowa względnego schematu Picarda schematu właściwego nad polem doskonałym jest grupą algebraiczną, która na ogół nie jest ani pokrewna, ani właściwa.
- Połączona składowa zamkniętego włókna modelu Nerona na dyskretnym pierścieniu wartościowania jest grupą algebraiczną, która na ogół nie jest ani afiniczna, ani właściwa.
- W przypadku grup analitycznych niektóre z oczywistych analogii twierdzenia Chevalleya zawodzą. Na przykład iloczyn grupy addytywnej C i dowolnej krzywej eliptycznej ma gęsty zbiór zamkniętych (analitycznych, ale nie algebraicznych) podgrup izomorficznych z C , więc nie ma unikalnej „maksymalnej podgrupy afinicznej”, podczas gdy iloczyn dwóch kopii multiplikatywnej grupa C * jest izomorficzna (analitycznie, ale nie algebraicznie) z nierozdzielonym rozszerzeniem dowolnej danej krzywej eliptycznej o C .
Aplikacje
Twierdzenie o strukturze Chevalleya jest używane w dowodzie kryterium Nerona – Ogga – Shafarewicza .
- Barsotti, Iacopo (1955a), „Twierdzenia o strukturze dla odmian grupowych”, Annali di Matematica Pura ed Applicata , Series 4, 38 : 77–119, doi : 10.1007 / bf02413515 , ISSN 0003-4622 , MR 0071849
- Barsotti, Iacopo (1955b), „Un teorema di struttura per le varietà gruppali”, Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. rendiconti. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 18 : 43–50, MR 0076427
- Chevalley, C. (1960), „Une demonstration d'un théorème sur les groupes algébriques”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Neuvième Série, 39 : 307–317, ISSN 0021-7824 , MR 0126447
- Conrad, Brian (2002), „Współczesny dowód twierdzenia Chevalleya o grupach algebraicznych” (PDF) , Journal of the Ramanujan Mathematical Society , 17 (1): 1–18, ISSN 0970-1249 , MR 1906417
- Rosenlicht, Maxwell (1956), „Niektóre podstawowe twierdzenia o grupach algebraicznych”, American Journal of Mathematics , 78 : 401–443, doi : 10.2307/2372523 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2372523 , MR 0082183