Twierdzenie o wielomianach

W matematyce twierdzenie o wielomianach opisuje , jak rozwinąć potęgę sumy pod względem potęg wyrazów tej sumy. Jest to uogólnienie twierdzenia o dwumianach z dwumianów na wielomiany .

Twierdzenie

Dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $m$ i dowolnej nieujemnej liczby całkowitej $n$ wzór wielomianu opisuje, w jaki sposób suma z $m$ składnikami rozszerza się po podniesieniu do dowolnej potęgi $n$ :

{\ Displaystyle (x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {m}) ^ {n} = \ suma _ {k_ {1} + k_ {2} + \cdots +k_{m}=n;\ k_{1},k_{2},\cdots,k_{m}\geq 0}{n \wybierz k_{1},k_{2},\ldots,k_ {m}}\prod _{t=1}^{m}x_{t}^{k_{t}}\,,}

Gdzie

{\ Displaystyle {n \ wybierz k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {m}} = {\ Frac {n!} {k_ {1}! \, k_ {2}! \ cdots k_ { M}!}}}

jest współczynnikiem wielomianowym . Suma jest przejmowana ze wszystkich kombinacji $takich nieujemnych$ $ki indeksów$ całkowitych od k $1 do$ km , że suma wszystkich wynosi $n$ . Oznacza to, że dla każdego wyrazu w rozwinięciu wykładniki x $i muszą$ sumować się do $n$ . Również, podobnie jak w przypadku twierdzenia dwumianowego , wielkości postaci $x 0$ , które się pojawiają, są równe 1 ( nawet gdy $x$ jest równe zeru ).

W przypadku $m = 2$ stwierdzenie to sprowadza się do twierdzenia o dwumianach.

Przykład

Trzecia potęga trójmianu $a + b + c$ jest dana przez

{\ Displaystyle (a + b + c) ^ {3} = a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3} + 3a ^ {2} b + 3a ^ {2} c + 3b ^ { 2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}b+6abc.}

Można to obliczyć ręcznie, korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania, ale można to również zrobić (być może łatwiej) za pomocą twierdzenia o wielomianach. Możliwe jest „odczytanie” współczynników wielomianowych z wyrazów za pomocą wzoru na współczynnik wielomianowy. Na przykład:

{\ Displaystyle a ^ {2} b ^ {0} c ^ {1}}

ma współczynnik

{\ Displaystyle {3 \ wybierz 2,0,1} = {\ Frac {3!} {2! \ cdot 0! \ cdot 1!}} = {\ Frac {6! }{2\cdot 1\cdot 1}}=3.}

{\ Displaystyle a ^ {1} b ^ {1} c ^ {1}}

ma współczynnik

{\ Displaystyle {3 \ wybierz 1,1,1} = {\ Frac {3!} {1! \ cdot 1! \ cdot 1!}} = {\ Frac {6 }{1\ckropka 1\ckropka 1}}=6.}

Wyrażenie alternatywne

Stwierdzenie twierdzenia można zwięźle zapisać za pomocą wielu wskaźników :

{\ Displaystyle (x_ {1} + \ cdots + x_ {m}) ^ {n} = \ suma _ {| \ alfa | = n} {n \ wybierz \ alfa} x ^ {\alfa}}

Gdzie

{\ Displaystyle \ alfa = (\ alfa _ {1}, \ alfa _ {2}, \ kropki, \ alfa _ {m})}

I

{\ Displaystyle x ^ {\ alfa} = x_ {1} ^ {\ alfa _ {1}} x_ {2} ^ {\ alfa _ {2} }}\cdots x_{m}^{\alpha _{m}}}

Dowód

Ten dowód twierdzenia o wielomianach wykorzystuje twierdzenie o dwumianach i indukcję po $m$ .

Po pierwsze, dla $m = 1$ obie strony są równe $x 1 n , ponieważ$ suma zawiera tylko jeden wyraz $k 1 = n .$ Dla kroku indukcyjnego załóżmy, że twierdzenie o wielomianach zachodzi dla $m$ . Następnie

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} & (x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {m} + x_ {m + 1}) ^ {n} = (x_ {1} + x_ {2 }+\cdots +(x_{m}+x_{m+1}))^{n}\\[6pt]={}&\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_ {m-1}+K=n}{n \wybierz k_{1},k_{2},\ldots,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2 }^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}(x_{m}+x_{m+1})^{K}\end{wyrównane}}}

przez hipotezę indukcyjną. Zastosowanie twierdzenia dwumianowego do ostatniego czynnika,

{\ Displaystyle = \ suma _ {k_ {1} + k_ {2} + \ cdots +k_{m-1}+K=n}{n \wybierz k_{1},k_{2},\ldots,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}\suma _{k_{m}+k_{m+1}=K}{K \wybierz k_{m},k_{m+1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}}

{\ Displaystyle = \ suma _ {k_ {1} + k_ {2} + \ cdots + k_ {m-1} + k_ {m }+k_{m+1}=n}{n \wybierz k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}}x_{1 }^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m +1}^{k_{m+1}}}

co kończy indukcję. Ostatni krok następuje, ponieważ

{\ Displaystyle {n \ wybierz k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {m-1}, K} {K \ wybierz k_ {m}, k_ {m + 1}} = {n \ wybierz k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}},}

co można łatwo zobaczyć, zapisując trzy współczynniki za pomocą silni w następujący sposób:

{\ Displaystyle {\ Frac {n!} {k_ {1}! K_ {2}! \ cdots k_ {m-1}! K!}} {\ Frac {K!} {k_ {m}! k_ {m +1}!}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m+1}!}}.}

Współczynniki wielomianowe

Liczby

{\ Displaystyle {n \ wybierz k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {m}}}

w twierdzeniu pojawiają się współczynniki wielomianowe . Można je wyrazić na wiele sposobów, w tym jako iloczyn współczynników dwumianowych lub silni :

{\ Displaystyle {n \ wybierz k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {m}} = {\ Frac {n!} {k_ {1}! \, k_ {2}! \cdots k_{m}!}}={k_{1} \wybierz k_{1}}{k_{1}+k_{2} \wybierz k_{2}}\cdots {k_{1}+k_{2 }+\cdots +k_{m} \wybierz k_{m}}}

Suma wszystkich współczynników wielomianowych

Podstawienie $x i = 1$ dla wszystkich $i$ do twierdzenia o wielomianach

{\ Displaystyle \ suma _ {k_ {1} + k_ {2} + \ cdots + k_ {m} = n} {n \ wybierz k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {m}} x_ {1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_ {m})^{n}}

od razu to daje

{\ Displaystyle \ suma _ {k_ {1} + k_ {2} + \ cdots + k_ {m} = n} {n \ wybierz k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {m}} = m^{n}.}

Liczba współczynników wielomianowych

Liczba wyrazów sumy wielomianowej, $# n, m$ , jest równa liczbie jednomianów stopnia $n$ na zmiennych $x 1, \dots, x m$ :

{\ Displaystyle \ # _ {n, m} = {n + m-1 \ wybierz m-1}.}

Liczenie można łatwo przeprowadzić metodą gwiazdek i słupków .

Wycena współczynników wielomianowych

Największą potęgę liczby pierwszej $p$ , która dzieli współczynnik wielomianowy, można obliczyć za pomocą uogólnienia twierdzenia Kummera .

Interpretacje

Sposoby umieszczania przedmiotów w pojemnikach

Współczynniki wielomianowe mają bezpośrednią kombinatoryczną interpretację, jako liczba sposobów umieszczenia $n$ różnych obiektów w $m$ różnych przedziałach, z $k 1$ obiektami w pierwszym koszu, $k 2$ obiektami w drugim koszu i tak dalej.

Liczba sposobów wyboru zgodnie z rozkładem

W mechanice statystycznej i kombinatoryce , jeśli mamy rozkład liczbowy etykiet, wówczas współczynniki wielomianowe naturalnie wynikają ze współczynników dwumianowych. Biorąc pod uwagę rozkład liczbowy ${n i}$ na zbiorze łącznie $N$ elementów, $n i$ reprezentuje liczbę elementów, które mają otrzymać etykietę $i$ . (W mechanice statystycznej $i$ jest etykietą stanu energetycznego.)

Liczba aranżacji znajduje się wg

Wybierając $n 1$ z całkowitej liczby $N$ do oznaczenia 1. Można to zrobić na różne sposoby ${\ Displaystyle {\ tbinom {N} {n_ {1}}}}$
Z pozostałych $N - n 1$ elementów wybierz $n 2$ do oznaczenia 2. Można to zrobić ${\ Displaystyle {\ tbinom {Nn_ {1}} {n_ {2}}}}$ sposobów .
Z pozostałych $N - n 1 - n 2$ elementów wybierz $n 3$ do etykiety 3. Ponownie można to zrobić ${\ Displaystyle {\ tbinom {Nn_ {1} -n_ {2}}{n_{3}}}}$ sposobów.

Pomnożenie liczby wyborów na każdym kroku daje:

{\ Displaystyle {N \ wybierz n_ {1}} {Nn_ {1} \ wybierz n_ {2}} {Nn_ {1} -n_ {2} \ wybierz n_ {3}} \ cdots = {\ frac {N!}{(N-n_{1})!n_{1}!}}\cdot {\frac {(N-n_{1})!}{(N-n_{1}-n_{2 })!n_{2}!}}\cdot {\frac {(N-n_{1}-n_{2})!}{(N-n_{1}-n_{2}-n_{3}) !n_{3}!}}\cdots .}

Rezygnacja skutkuje formułą podaną powyżej.

Liczba unikalnych permutacji słów

Współczynnik wielomianowy jako iloczyn współczynników dwumianowych, licząc permutacje liter MISSISSIPPI.

Współczynnik wielomianowy

{\ Displaystyle {\ binom {n} {k_ {1}, \ ldots, k_ {m}}}}

$jest także liczbą różnych sposobów permutacji multizbioru n$ elementów , gdzie ki jest krotnością $każdego z$ i - $tych$ elementów . Na przykład liczba różnych permutacji liter słowa MISSISSIPPI, które ma 1 M, 4 Is, 4 Ss i 2 Ps, wynosi

{\ Displaystyle {11 \ wybierz 1,4,4,2} = {\ Frac {11!} {1! \, 4! \, 4! \, 2!}} = 34650.}

Uogólniony trójkąt Pascala

Można użyć twierdzenia o wielomianach, aby uogólnić trójkąt Pascala lub piramidę Pascala na simplex Pascala . Zapewnia to szybki sposób generowania tabeli przeglądowej dla współczynników wielomianowych.

Zobacz też