Twierdzenie Freudenthala o zawieszeniu

W matematyce , aw szczególności w dziedzinie teorii homotopii , twierdzenie Freudenthala o zawieszeniu jest podstawowym wynikiem prowadzącym do koncepcji stabilizacji grup homotopii , a ostatecznie do stabilnej teorii homotopii . Wyjaśnia zachowanie jednoczesnego przyjmowania zawieszeń i zwiększania wskaźnika grup homotopii badanej przestrzeni. Udowodnił to w 1937 roku Hans Freudenthal .

Twierdzenie jest następstwem twierdzenia o wycięciu homotopii .

Stwierdzenie twierdzenia

Niech X będzie n -spójną przestrzenią spiczastą (wskazanym zbiorem CW-zespolonym lub spiczastym zbiorem symplicjalnym ). Mapa

${\ Displaystyle X \ do \ Omega (\ Sigma X)}$

wywołuje mapę

${\ Displaystyle \ pi _ {k} (X) \ do \ pi _ {k} (\ Omega (\ Sigma X))}$

na grupach homotopii, gdzie Ω oznacza funktor pętli , a Σ oznacza zredukowany funktor zawieszenia . Twierdzenie o zawieszeniu stwierdza następnie, że indukowana mapa na grupach homotopii jest izomorfizmem, jeśli k ≤ 2 n i epimorfizmem , jeśli k = 2 n + 1.

Podstawowy wynik w przestrzeniach pętli daje zależność

${\ Displaystyle \ pi _ {k} (\ Omega (\ Sigma X)) \ cong \ pi _ {k + 1} (\ Sigma X )}$

więc twierdzenie można by inaczej określić w kategoriach mapy

${\ Displaystyle \ pi _ {k} (X) \ do \ pi _ {k + 1} (\ Sigma X),}$

z małym zastrzeżeniem, że w tym przypadku trzeba uważać z indeksowaniem.

Dowód

Jak wspomniano powyżej, twierdzenie Freudenthala o zawieszeniu wynika szybko z wycięcia homotopii ; $} (X) \ do \ pi _ {k + 1} (\ Sigma X) }$ → . Jeśli przestrzeń jest $($ , to para spacji jest ${\ Displaystyle (CX, X)}$$X$$)}$${\ Displaystyle X$$X}$ -połączony, gdzie jest zredukowanym stożkiem nad $displaystyle$ ; wynika to ze względnej homotopii długiej dokładnej sekwencji . Możemy rozłożyć $}$ dwie kopie , powiedzmy $_ {-}}$$Displaystyle$${\ Displaystyle (CX) _ {+}, (CX) Σ X {\$ , którego przecięcie to ${\ displaystyle X}$ . Następnie wycięcie homotopii mówi mapę inkluzji:

${\ Displaystyle ((CX) _ {+}, X) \ podzbiór (\ Sigma X, (CX) _ {-})}$

indukuje izomorfizmy na ${\ Displaystyle \ pi _ {i}, i <2n + 2}$ i surjekcja na ${\ Displaystyle \ pi _ {2n + 2}}$ . ${\ Displaystyle \ pi _ {i} (X) = \ pi _ {i + 1} (CX,$ ja a ponieważ dodatkowo czopki są kurczliwe,

${\ Displaystyle \ pi _ {i} (\ Sigma X, (CX) _ {-}) = \ pi _ {i} (\ Sigma X).}$

Łącząc to wszystko razem, otrzymujemy

${\ Displaystyle \ pi _ {i}(X)=\pi _{i+1}((CX)_{+},X)=\pi _{i+1}((\Sigma X,(CX)_{-})= \pi _{i+1}(\Sigma X)}$

dla ${\ Displaystyle i + 1 <2n + 2}$ , tj. ${\ Displaystyle i \ leqslant 2n}$ , jak twierdzono powyżej; dla ${\ Displaystyle i=2n + 1}$ lewa i prawa mapa są izomorfizmami, niezależnie od tego, jak połączone są, a środkowa jest surjekcją przez wycięcie, więc kompozycja jest X ${\ displaystyle X$ surjekcja, jak twierdzono.

Wniosek 1

Niech S ⁿ oznacza n -kulę i zauważ, że jest ona ( n - 1) -spójna tak, że grupy ${\ Displaystyle \ pi _ {n + k} (S ^ {n}) }$ stabilizować przez twierdzenie Freudenthala ${\ Displaystyle n \ geqslant k + 2} .$ Grupy te reprezentują k- tą stabilną grupę homotopii sfer .

Wniosek 2

Mówiąc bardziej ogólnie, dla ustalonego k ≥ 1, k ≤ 2 n dla wystarczająco dużego n , tak że każda n -spójna przestrzeń X będzie miała odpowiednie ustabilizowane grupy homotopii. Grupy te są w rzeczywistości grupami homotopii obiektu odpowiadającego X w stabilnej kategorii homotopii .

• Freudenthal, H. (1938), "Über die Klassen der Sphärenabbildungen. I. Große Dimensionen" , Compositio Mathematica , 5 : 299-314 .
• Goerss, PG; Jardine, JF (1999), Uproszczona teoria homotopii , Progress in Mathematics, tom. 174, Bazylea-Boston-Berlin: Birkäuser .
•   Hatcher, Allen (2002), Topologia algebraiczna , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0 .
•    Whitehead, GW (1953), „O twierdzeniach Freudenthala”, Annals of Mathematics , 57 (2): 209–228, doi : 10.2307/1969855 , JSTOR 1969855 , MR 0055683 .