Użyteczność quasilinearna

W ekonomii i teorii konsumenta kwaziliniowe funkcje użyteczności są liniowe w jednym argumencie, zazwyczaj w numeraire . Preferencje quasilinearne można przedstawić za pomocą funkcji użyteczności ${\ Displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = x_ {1} + \ theta (x_ {2}, \ ldots, x_ {n})} gdzie$ θ $\ displaystyle \theta }$ jest ściśle wklęsły . Użyteczną właściwością kwaziliniowej funkcji użyteczności jest to, że popyt Marshalla/Walrasa $zależy$ i efekt bogactwa ; Brak efektu bogactwa upraszcza analizę i sprawia, że ​​kwaziliniowe funkcje użyteczności są częstym wyborem w modelowaniu. Ponadto, gdy użyteczność jest quasiliniowa, zmienność kompensacyjna (CV), zmienność równoważna (EV) i nadwyżka konsumenta są algebraicznie równoważne. W konstrukcji mechanizmu użyteczność quasilinearna zapewnia, że ​​agenci mogą kompensować się wzajemnie płatnościami bocznymi.

Definicja w kategoriach preferencji

Relacja preferencji jest kwaziliniowa w odniesieniu do towaru 1 (zwanego w tym przypadku towarem numeraire ), jeśli: ≿ { $displaystyle \ succsim}$

• Wszystkie zbiory obojętności są względem siebie równoległymi przemieszczeniami wzdłuż osi towaru 1. To znaczy, jeśli wiązka „x” jest obojętna wobec wiązki „y” (x~y), to ${\ Displaystyle \ lewo (x + \ alfa e_ {1} \ prawo) \ sim \ lewo (y + \ alfa e_ {1} \ prawo), \ forall \ alfa \ in \ mathbb {R}, e_ {1} = \ lewo(1,0,...,0\prawo)}$
• Dobro 1 jest pożądane; to znaczy ${\ Displaystyle \ lewo (x + \ alfa e_ {1} \ prawo) \ succ \ lewo (x \ prawo), \ forall \ alfa > 0 }$

Innymi słowy: relacja preferencji jest quasiliniowa, jeśli istnieje jeden towar, zwany numeraire, który przesuwa krzywe obojętności na zewnątrz w miarę wzrostu jego konsumpcji, bez zmiany ich nachylenia.

W przypadku dwuwymiarowym krzywe obojętności są równoległe ; co jest przydatne, ponieważ całą funkcję użyteczności można wyznaczyć z pojedynczej krzywej obojętności.

Definicja w kategoriach funkcji użytkowych

Funkcja użyteczności jest quasiliniowa w towarze 1, jeśli ma postać

${\ Displaystyle u \ lewo (x_ {1}, \ kropki, x_ {L} \ prawo) = x_ {1}+\theta \left(x_{2},...,x_{L}\right)}$

gdzie jest $funkcją$ . W przypadku dwóch dóbr funkcją tą może być np. ${\ Displaystyle u \ lewo (x, y \ prawo) = x + {\ sqrt {y}}.}$

Postać quasilinearna jest szczególna, ponieważ funkcje popytu na wszystkie dobra konsumpcyjne z wyjątkiem jednego zależą tylko od cen, a nie od dochodu. Np. z dwoma towarami o cenach p _x = 1 i p _y , if

${\ Displaystyle u (x, y) = x + \ theta (y)}$

następnie maksymalizując użyteczność pod warunkiem, że zapotrzebowanie na te dwa dobra sumuje się do danego poziomu dochodu, popyt na y wyprowadza się z równania

${\ Displaystyle \ theta ^ {\ prime} (y) = p_ {y}}$

Więc

${\ Displaystyle y (p, ja) = (\ theta ^ {\ prime}) ^ {- 1} (p_ {y}),}$

która jest niezależna od dochodu I .

Pośrednia funkcja użyteczności w tym przypadku to

${\ displaystyle v (p, ja) = v (p) + ja,}$

co jest szczególnym przypadkiem postaci polarnej Gormana .

Równoważność definicji

kardynalne i porządkowe są równoważne w przypadku wypukłego zbioru konsumpcji z ciągłymi preferencjami, które w pierwszym argumencie są lokalnie niezaspokojone .

Zobacz też

• Funkcja quasi-wypukła
• Liniowa funkcja użyteczności - specjalny rodzaj quasiliniowej funkcji użyteczności.