Uniwersalna C*-algebra

W matematyce uniwersalna C*-algebra jest C*-algebrą opisaną za pomocą generatorów i relacji. W przeciwieństwie do pierścieni lub algebr , gdzie można rozważyć ilorazy przez swobodne pierścienie , aby skonstruować obiekty uniwersalne, C * -algebry muszą być możliwe do zrealizowania jako algebry operatorów ograniczonych w przestrzeni Hilberta za pomocą konstrukcji Gelfanda-Naimarka-Segala a relacje muszą określać jednolitą granicę na normie każdego generatora. Oznacza to, że w zależności od generatorów i relacji, uniwersalna C*-algebra może nie istnieć. W szczególności nie istnieją wolne C*-algebry.

Relacje C*-Algebra

Istnieje kilka problemów z definiowaniem relacji dla C*-algebr. Jednym z nich jest, jak wspomniano wcześniej, ze względu na nieistnienie wolnych C*-algebr, nie każdy zbiór relacji definiuje C*-algebrę. Innym problemem jest to, że często chciałoby się uwzględnić relacje porządku, wzory obejmujące ciągły rachunek funkcjonalny i dane spektralne jako relacje. Z tego powodu używamy stosunkowo okrężnego sposobu definiowania relacji C*-algebry. Podstawową motywacją dla poniższych definicji jest to, że zdefiniujemy relacje jako kategorię ich reprezentacji.

Biorąc pod uwagę zbiór X , zerowa relacja $)$ * na X jest kategorią z składającymi się z par ( j , A , gdzie A to C * -algebra i j jest funkcją od X do A iz morfizmami od ( j , A ) do ( k , B ) składającą się z *-homomorfizmów φ od A do B spełniające φ ∘ j = k . Relacja C * na X to pełna podkategoria satysfakcjonująca : ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {X}}$

unikalna funkcja X do {0} jest obiektem;
biorąc pod uwagę iniekcyjny *-homomorfizm φ od A do B i funkcję f od X do A , jeśli φ ∘ f jest przedmiotem, to f jest przedmiotem;
mając *-homomorfizm φ od A do B i funkcję f od X do A , jeśli f jest przedmiotem, to φ ∘ f jest przedmiotem;
jeśli f _ja jest obiektem dla i = 1,2, ..., n, to ${\ Displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ { n}f_{i}:X\to \prod _{i=1}^{n}A_{i}}$ jest również obiektem. Ponadto, jeśli f _i jest obiektem dla i w niepustym zbiorze indeksów, I implikuje iloczyn $\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} f_ {i}: X \ do \ prod A_ {i}}$ jest również obiektem, wtedy relacja C * jest zwarta .

Biorąc pod uwagę C*-relację R na zbiorze X . wtedy funkcja ι od X do C*-algebry U nazywana jest reprezentacją uniwersalną dla R if

biorąc pod uwagę C*-algebrę A i *-homomorfizm φ od U do A , φ ∘ ι jest przedmiotem R ;
biorąc pod uwagę C*-algebrę A i obiekt ( f , A ) w R , istnieje unikalny *-homomorfizm φ od U do A taki, że f = φ ∘ ι. Zauważ, że ι i U są unikalne aż do izomorfizmu, a U jest nazywane uniwersalną C*-algebrą dla R .

AC*-relacja R ma uniwersalną reprezentację wtedy i tylko wtedy, gdy R jest zwarty.

Biorąc pod uwagę * - wielomian p na zbiorze X , możemy zdefiniować pełną podkategorię z obiektami ( j , ZA $)$ , że p ∘ j = 0 Dla wygody możemy nazwać p relacją i możemy przywrócić klasyczną koncepcję relacji. Niestety, nie każdy *-wielomian zdefiniuje zwartą C*-relację.

Podejście alternatywne

Alternatywnie, można zastosować bardziej konkretną charakterystykę uniwersalnych C*-algebr, która bardziej przypomina konstrukcję algebry abstrakcyjnej. Niestety ogranicza to rodzaje relacji, które są możliwe. Biorąc pod uwagę zbiór G , relacja na G jest zbiorem R składającym się z par ( p , η), gdzie p jest *-wielomianem na X , a η jest nieujemną liczbą rzeczywistą. Reprezentacja ( G , R ) w przestrzeni Hilberta H $eta}$ ρ X p \ circ \ rho ( X) \ rVert \ leq wszystkich ( p , η) w R . Parę ( G , R ) nazywamy dopuszczalną , jeśli reprezentacja istnieje i bezpośrednia suma reprezentacji jest również reprezentacją. Następnie

{\ Displaystyle \ lVert z \ rVert _ {u} = \ sup \ {\ lVert \ rho (z) \ rVert \colon \rho {\text{ jest reprezentacją }}(G,R)\}}

jest skończony i definiuje seminormę spełniającą warunek C*-normowy na wolnej algebrze na X . $_$ ilorazu algebry swobodnej algebra ( G , R ).

Przykłady

Nieprzemienny torus można zdefiniować jako uniwersalną C*-algebrę generowaną przez dwa unitarne z relacją komutacji.
Algebry Cuntza , grafowe C*-algebry i k-grafowe C*-algebry są uniwersalnymi C*-algebrami generowanymi przez częściowe izometrie .
Uniwersalna algebra C * generowana przez element jednolity u ma prezentację ${\ Displaystyle \ langle u \ mid u ^ {*} u = uu ^ {*} = 1 \ zakres }$ . Dzięki ciągłemu rachunku funkcjonalnemu ta C * -algebra jest algebrą funkcji ciągłych na okręgu jednostkowym na płaszczyźnie zespolonej. Każda C*-algebra generowana przez element jednostkowy jest izomorficzna z ilorazem tej uniwersalnej C*-algebry.

Loring, T. (1997), Lifting Solutions to Perturbing Problems in C*-Algebras , Monografie Fields Institute, tom. 8, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 0-8218-0602-5