Uniwersalna przestrzeń

W matematyce przestrzeń uniwersalna to pewna przestrzeń metryczna , która zawiera wszystkie przestrzenie metryczne, których wymiar jest ograniczony przez pewną stałą stałą. Podobna definicja istnieje w dynamice topologicznej .

Definicja

Biorąc pod uwagę klasę przestrzeni topologicznych, $\ mathbb {U} \ in {\ mathcal {C}}}$ $Displaystyle \ textstyle$ uniwersalna dla do {\ mathcal { $}}}$ $}}} displaystyle \ textstyle {\ mathcal {$ $textstyle$ , jeśli każdy członek osadza się w $\ mathbb {U}}$ . Menger stwierdził i udowodnił sprawę ${\ displaystyle \ textstyle d = 1}$ następującego twierdzenia. Twierdzenie w pełnej ogólności zostało udowodnione przez Nöbelinga.

Twierdzenie : ${\ Displaystyle \ textstyle (2d + 1)}$ -wymiarowy sześcian ${\ Displaystyle \ textstyle [0,1] ^ {2d + 1}}$ jest uniwersalny dla klasy zwartych przestrzeni metrycznych, których $wymiar$ obejmujący Lebesgue'a jest mniejszy .

Nöbeling poszedł dalej i udowodnił:

Twierdzenie: Podprzestrzeń ${\ Displaystyle \ textstyle [0,1] ^ {2d + 1}}$ składająca się ze zbioru punktów, których współrzędne są co najwyżej ${\ Displaystyle \ textstyle d}$ wymierny, jest uniwersalny dla klasy rozdzielnych przestrzeni metrycznych $,$ których wymiar obejmujący Lebesgue'a jest mniejszy .

Ostatnie twierdzenie zostało uogólnione przez Lipscomba do klasy przestrzeni metrycznych wagi ${\ Displaystyle \ textstyle \ alpha}$ , ${\ Displaystyle \ textstyle \ alpha > \ aleph _ {0}}$ : Istnieje jednowymiarowy przestrzeń metryczna $_ {\ alfa$ $}}$ że podprzestrzeń składająca ze zbioru punktów, większość ${\ displaystyle \ textstyle d}$ którego współrzędne są „wymierne” (odpowiednio zdefiniowane), jest uniwersalna dla klasy przestrzeni metrycznych, których wymiar obejmujący Lebesgue'a jest mniejszy niż $displaystyle$ których waga jest mniejsza niż $\ textstyle \ alpha}$ .

Przestrzenie uniwersalne w dynamice topologicznej

Rozważmy kategorię topologicznych układów dynamicznych $\ Displaystyle$ $T:X\strzałka w prawo X}$ zwartej przestrzeni metrycznej homeomorfizmu $X}$ $textstyle$ . Topologiczny układ dynamiczny nazywany jest minimalnym , jeśli nie ma odpowiedniego niepustego zamkniętego ${\ Displaystyle \ textstyle (X, T)}$ ${\ displaystyle \ textstyle T} -$ niezmienne podzbiory. Nazywa się to nieskończonym, jeśli ${\ Displaystyle \ textstyle | X | = \ infty}$ . Topologiczny układ dynamiczny ${\ Displaystyle \ textstyle (Y, S)}$ nazywany jest współczynnikiem , jeśli istnieje ciągłe odwzorowanie suriekcyjne ${\ Displaystyle \ textstyle (X, T)}$ ${\ Displaystyle \ textstyle \ varphi: X \ rightarrow Y}$ , który jest równoważny , tj. ${\ Displaystyle \ textstyle \ varphi (Tx) = S \ varphi (x)}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle \ textstyle x \ w X}$ .

Podobnie jak w powyższej definicji, biorąc pod uwagę klasę topologicznych układów dynamicznych, $in {\ mathcal {C}} }$ $do {\ Displaystyle \ textstyle$ jest uniwersalny dla , jeśli każdy członek osadza się w $} do {\ Displaystyle \ textstyle {$ $\ mathbb {U}$ $}}$ poprzez ekwiwariantne odwzorowanie ciągłe. Lindenstraussa udowodnił następujące twierdzenie:

Twierdzenie : Niech ${\ Displaystyle \ textstyle d \ in \ mathbb {N}}$ . Zwarty metryczny topologiczny system dynamiczny $} ) ^ {\ mathbb {Z}}}$ X $Z$ i ${\ Displaystyle \ textstyle T: X \ rightarrow X}$ jest homeomorfizmem przesunięcia ${\ Displaystyle \ textstyle (\ ldots, x_ {-2}, x_ {-1}, \ mathbf {x_ {0}}, x_ {1}, x_ {2}, \ ldots) \ rightarrow (\ ldots, x_ {-1},x_{0},\mathbf {x_{1}} ,x_{2},x_{3},\ldots )}$

$średni$ dla klasy zwartych metrycznych topologicznych układów dynamicznych, których jest ściśle mniejszy niż i które posiadają nieskończony współczynnik minimalny.

$,$ $i$ jest największa stała taka że zwarty metryczny topologiczny układ dynamiczny, którego średni wymiar jest ściśle mniejszy niż który posiada nieskończony minimalny współczynnik osadza się w ${\ Displaystyle \ textstyle ([0,1] ^ {d}) ^ {\ mathbb {Z}}}$ . Powyższe wyniki implikują ${\ Displaystyle \ textstyle c \ geq {\ Frac {1} {36}}}$ . $textstyle c\geq {\frac {1}{2}}}$ pytanie odpowiedzieli Lindenstrauss i Tsukamoto, którzy wykazali, że ${$ \ . Zatem odpowiedź brzmi: ${\ Displaystyle \ textstyle c = {\ Frac {1} {2}}}$ .

Zobacz też