Uniwersalna stała paraboliczna

Uniwersalna stała paraboliczna to długość koloru czerwonego podzielona przez długość koloru zielonego.

Uniwersalna stała paraboliczna jest stałą matematyczną .

Definiuje się go jako stosunek, dla dowolnej paraboli , długości łuku odcinka parabolicznego utworzonego przez latus rectum do parametru ogniska. Parametr ogniskowej jest dwukrotnie dłuższy od ogniskowej . Stosunek jest oznaczony P . Na diagramie latus rectum jest przedstawiony na niebiesko, segment paraboliczny, który tworzy, na czerwono, a parametr ogniskowej na zielono. ( Ogniskiem paraboli jest punkt F , a kierownicą jest prosta L ).

Wartość P jest

${\ Displaystyle P = \ ln (1 + {\ sqrt {2}}) + {\ sqrt {2}} = 2,29558714939 \ kropki}$

(sekwencja A103710 w OEIS ). Okrąg , ponieważ mają stałą uniwersalną. Analogiczne stosunki dla elips i hiperboli zależą od ich mimośrodów . Oznacza to, że wszystkie okręgi są podobne i wszystkie parabole są podobne, podczas gdy elipsy i hiperbole nie.

Pochodzenie

Weź ${\ textstyle y = {\ frac {x ^ {2}} {4f}}}$ jako równanie paraboli. Parametrem ogniskowym jest ${\ displaystyle p = 2f}$ , a semilatus rectum to ${\ displaystyle \ ell = 2f}$ .

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} P &: = {\ Frac {1} {p}} \ int _ {- \ ell} ^ {\ ell} } {\ sqrt {1+ \ lewo (y' (x) \ dobrze)^{2}}}\,dx\\&={\frac {1}{2f}}\int _{-2f}^{2f}{\sqrt {1+{\frac {x^{2 }}{4f^{2}}}}}\,dx\\&=\int _{-1}^{1}{\sqrt {1+t^{2}}}\,dt&(x=2 stopy )\\&=\operatorname {arsinh} (1)+{\sqrt {2}}\\&=\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}.\end{ wyrównany}}}$$

Nieruchomości

P jest liczbą przestępną .

dowód . Załóżmy, że P jest algebraiczne . Wtedy ${\ Displaystyle \! \ P - {\ sqrt {2}} = \ ln (1 + {\ sqrt {2}})}$ również musi być algebraiczne. Jednak na mocy twierdzenia Lindemanna-Weierstrassa mi ${\ ln (1 + {\ sqrt {2}})} = 1 + {\ sqrt {2}}}$ Displaystyle \! \ e byłoby transcendentalne, co nie ma miejsca. Stąd P jest transcendentalne.

Ponieważ P jest transcendentalne, jest również irracjonalne .

Aplikacje

Średnia odległość od punktu losowo wybranego w kwadracie jednostkowym do jego środka wynosi

${\ Displaystyle d _ {\ tekst {średnia}} = {P \ ponad 6}.}$

Dowód .

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} d _ {\ tekst {średnia}} &: = 8 \ int _ {0} ^ {1 \ ponad 2} \ int _ {0}^{x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,dy\,dx\\&=8\int _{0}^{1 \ponad 2}{1 \over 2}x^{2}(\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}})\,dx\\&=4P\int _{0}^{1 \ ponad 2}x^{2}\,dx\\&={P \ponad 6}\end{wyrównane}}}$