Uniwersalny zestaw Baire'a

W matematycznej dziedzinie opisowej teorii mnogości zbiór liczb rzeczywistych (lub bardziej ogólnie podzbiór przestrzeni Baire'a lub przestrzeni Cantora ) jest powszechnie nazywany Baire'em, jeśli ma pewną silną właściwość regularności. Uniwersalne zbiory Baire'a odgrywają ważną rolę w Ω-logice , bardzo silnym systemie logicznym wymyślonym przez W. Hugh Woodina i centralnym punkcie jego argumentacji przeciwko hipotezie kontinuum Georga Cantora .

Definicja

Podzbiór A przestrzeni Baire'a jest uniwersalnie Baire'em, jeśli ma następujące równoważne właściwości:

1. Dla każdego pojęcia wymuszenia istnieją drzewa T i U takie, że A jest rzutem zbioru wszystkich gałęzi przez T , i jest wymuszone, że rzuty gałęzi przechodzących przez T i gałęzi przechodzących przez U wzajemnie się uzupełniają .
2. Dla każdej zwartej przestrzeni Hausdorffa Ω i każdej funkcji ciągłej f od Ω do przestrzeni Baire'a, przedobraz A pod f ma właściwość Baire'a w Ω.
3. Dla każdego kardynała λ i każdej ciągłej funkcji f od λ ^ω do przestrzeni Baire'a, przedobraz A pod f ma własność Baire'a.

•   Bagaria, Joanna; Todorcevic, Stevo (red.). Teoria mnogości: Centre de Recerca Matemàtica Barcelona, ​​2003-2004 . Trendy w matematyce. ISBN 978-3-7643-7691-8 .
• Feng, Qi; Magidor, Menachem ; Woodin, Hugh . Juda, H.; Tylko w.; Woodin, Hugh (red.). Teoria mnogości kontinuum . Publikacje Instytutu Nauk Matematycznych.