Uogólnione twierdzenie Helmholtza

Uogólnione twierdzenie Helmholtza jest wielowymiarowym uogólnieniem twierdzenia Helmholtza , które jest ważne tylko w jednym wymiarze. Uogólnione twierdzenie Helmholtza brzmi następująco.

Pozwalać

${\ Displaystyle \ mathbf {p} = (p_ {1}, p_ {2}, ..., p_ {s}),$

${\ Displaystyle \ mathbf {q} = (q_ {1}, q_ {2}, ..., q_ {s}),$

będą współrzędnymi kanonicznymi s -wymiarowego układu Hamiltona i niech

${\ Displaystyle H (\ mathbf {p} \ mathbf {q}; V) = K (\ mathbf {p}) + \ varphi (\mathbf {q} ;V)}$

będzie funkcją Hamiltona , gdzie

${\ Displaystyle K = \ suma _ {i = 1} ^ {s} {\ Frac {p_ {i} ^ {2}} {2m}}}$ ,

jest energią kinetyczną i

${\ Displaystyle \ varphi (\ mathbf {q}; V)}$

$gdzie$ jest energia potencjalna , która zależy od . Niech hiper-powierzchnie o stałej energii w dwuwymiarowej $metrycznie$ układu będą nierozkładalne niech średni czas. Zdefiniuj ilości mi ${\ displaystyle E}$ P $\ displaystyle P}$ , ${\ displaystyle T}$ , ${\ displaystyle S}$ w następujący sposób:

${\ Displaystyle E = K + \ varphi}$ ,

${\ Displaystyle T = {\ Frac {2} {s}} \ lewo \ langle K \ prawo \ rangle _ {t }}$ ,

${\ Displaystyle P = \ lewo \ langle - {\ Frac {\ częściowe \ varphi} {\ częściowe V}} \ prawo \ rangle _ {t}}$ ,

${\ Displaystyle S (E, V) = \ log \ int _ {H (\ mathbf {p} \ mathbf {q}; V) \ równoważnik E} d ^ {s} \ mathbf {p} d ^ {s }\mathbf {q} .}$

Następnie:

${\ Displaystyle dS = {\ Frac {dE + PdV} {T}}.}$

Uwagi

Teza tego twierdzenia mechaniki klasycznej brzmi dokładnie tak, jak twierdzenie termodynamiki o cieple . Fakt ten pokazuje, że w wielowymiarowych układach ergodycznych istnieją zależności podobne do termodynamicznych między pewnymi wielkościami mechanicznymi . To z kolei pozwala na zdefiniowanie „stanu termodynamicznego” wielowymiarowego ergodycznego układu mechanicznego, bez wymogu, aby układ składał się z dużej liczby stopni swobody. W szczególności temperatura jest określona przez dwukrotność średniej w czasie energii kinetycznej na stopień swobody, a entropia przez logarytm objętości przestrzeni fazowej zamkniętej przez powierzchnię stałej energii ( $T$$T}$ \ czyli tzw. entropia objętości ).

Dalsza lektura

• Helmholtz, H. von (1884a). Principien der Statik monocyklischer Systeme. Borchardt-Crelle's Journal für die reine und angewandte Mathematik , 97, 111–140 (również w Wiedemann G. (red.) (1895) Wissenschafltliche Abhandlungen. Vol. 3 (s. 142–162, 179–202). Lipsk: Johann Ambroży Barth).
• Helmholtz, H. von (1884b). Studien zur Statik monocyklischer Systeme. Sitzungsberichte der Kö niglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin , I, 159–177 (również w Wiedemann G. (red.) (1895) Wissenschafltliche Abhandlungen. Vol. 3 (s. 163–178). Lipsk: Johann Ambrosious Barth).
• Boltzmann, L. (1884). Über die Eigenschaften monocyklischer und anderer damit verwandter Systeme. Crelles Journal , 98: 68–94 (również w Boltzmann, L. (1909). Wissenschaftliche Abhandlungen (t. 3, s. 122–152), F. Hasenöhrl (red.). Lipsk. Wznowienie New York: Chelsea, 1969 ).
• Chinczin, AI (1949). Matematyczne podstawy mechaniki statystycznej . Nowy Jork: Dover.
• Gallavotti, G. (1999). Mechanika statystyczna: krótki traktat . Berlin: Springer.
• Campisi, M. (2005) O mechanicznych podstawach termodynamiki: uogólnione twierdzenie Helmholtza Studies in History and Philosophy of Modern Physics 36: 275–290