Twierdzenie Helmholtza (mechanika klasyczna)

Helmholtza mechaniki klasycznej brzmi następująco:

Pozwalać

{\ Displaystyle H (x, p; V) = K (p) + \ varphi (x; V)}

będzie hamiltonianem układu jednowymiarowego, gdzie

{\ Displaystyle K = {\ Frac {p ^ {2}} {2m}}}

jest energią kinetyczną i

{\ Displaystyle \ varphi (x; V)}

który

energii potencjalnej „w kształcie litery U”, zależy od parametru . Niech

.

czasu Pozwalać

${\ Displaystyle E = K + \ varphi,}$
${\ Displaystyle T = 2 \ lewo \ langle K \ prawo \ rangle _ {t},}$
${\ Displaystyle P = \ lewo \ langle - {\ Frac {\ częściowe \ varphi} {\ częściowe V}} \ prawo \ rangle _ {t},}$
${\ Displaystyle S (E, V) = \ log \ punkt {\ sqrt {2m \ lewo (E- \ varphi \ lewo (x, V \ prawo) \ prawo)}} \, dx.}$

Następnie

{\ Displaystyle dS = {\ Frac {dE + PdV} {T}}.}

Uwagi

Teza tego twierdzenia mechaniki klasycznej brzmi dokładnie tak, jak twierdzenie termodynamiki o cieple . Fakt ten pokazuje, że między pewnymi wielkościami mechanicznymi istnieją relacje zbliżone do termodynamiki. To z kolei pozwala na zdefiniowanie „stanu termodynamicznego” jednowymiarowego układu mechanicznego. $($ szczególności temperatura jest $określona$ przez średnią czasową energii kinetycznej, a entropię przez logarytm działania .
${\ textstyle \ oint dx {\ sqrt {2 m \ lewo (E - \ varphi \ lewo (x, V \ prawo) \ prawo)}}})$ . Znaczenie tego twierdzenia zostało docenione przez Ludwiga Boltzmanna , który widział, jak zastosować je do układów makroskopowych (tj. układów wielowymiarowych), aby zapewnić mechaniczne podstawy termodynamiki równowagi . Ta działalność badawcza była ściśle związana ze sformułowaniem przez niego hipotezy ergodycznej . Wielowymiarowa wersja twierdzenia Helmholtza, oparta na ergodycznym twierdzeniu George'a Davida Birkhoffa, jest znana jako uogólnione twierdzenie Helmholtza .

Helmholtz, H. von (1884a). Principien der Statik monocyklischer Systeme. Borchardt-Crelle's Journal für die reine und angewandte Mathematik , 97, 111–140 (również w Wiedemann G. (red.) (1895) Wissenschafltliche Abhandlungen. Vol. 3 (s. 142–162, 179–202). Lipsk: Johann Ambroży Barth).
Helmholtz, H. von (1884b). Studien zur Statik monocyklischer Systeme. Sitzungsberichte der Kö niglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin , I, 159–177 (również w Wiedemann G. (red.) (1895) Wissenschafltliche Abhandlungen. Vol. 3 (s. 163–178). Lipsk: Johann Ambrosious Barth).
Boltzmann, L. (1884). Über die Eigenschaften monocyklischer und anderer damit verwandter Systeme. Crelles Journal , 98: 68–94 (również w Boltzmann, L. (1909). Wissenschaftliche Abhandlungen (t. 3, s. 122–152), F. Hasenöhrl (red.). Lipsk. Wznowienie New York: Chelsea, 1969 ).
Gallavotti, G. (1999). Mechanika statystyczna: krótki traktat . Berlin: Springer.
Campisi, M. (2005) O mechanicznych podstawach termodynamiki: uogólnione twierdzenie Helmholtza Studies in History and Philosophy of Modern Physics 36: 275–290