Węzeł wirtualny

Nierozwiązany problem z matematyki :

[Rozszerzenie wielomianu Jonesa na ogólne 3-rozmaitości.] Czy pierwotny wielomian Jonesa , który jest zdefiniowany dla 1-ogniw w 3-sferze (3-kula, 3-przestrzeń R3), może być rozszerzony dla 1-ogniw w dowolny 3-kolektor?

(więcej nierozwiązanych problemów z matematyki)

W teorii węzłów wirtualny węzeł jest uogólnieniem węzłów w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej $R 3$ na sęki w pogrubionych powierzchniach ${\ Displaystyle \ Sigma \ razy [0,1]}$ modulo relacja równoważności zwane stabilizacją/destabilizacją. Tutaj $.$ być zamknięty i zorientowany Węzły wirtualne zostały po raz pierwszy wprowadzone przez Kauffmana (1999) .

Przegląd

W teorii węzłów klasycznych węzły można uznać za klasy równoważności diagramów węzłów w ramach ruchów Reidemeistera . Podobnie wirtualny węzeł można uznać za równoważność wirtualnych diagramów węzłów, które są równoważne w ramach uogólnionych ruchów Reidemeistera. Węzły wirtualne pozwalają na istnienie np. węzłów, których kody Gaussa nie mogłyby istnieć w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej . Wirtualny diagram węzłów jest 4-wartościowym grafem planarnym, ale każdy wierzchołek może być teraz klasycznym skrzyżowaniem lub nowym typem zwanym wirtualnym. Uogólnione ruchy pokazują, jak manipulować takimi diagramami, aby uzyskać równoważny diagram; jeden ruch zwany półwirtualnym ruchem obejmuje zarówno klasyczne, jak i wirtualne skrzyżowania, ale wszystkie inne ruchy obejmują tylko jedną odmianę skrzyżowania.

Wirtualne węzły są ważne i istnieje silny związek między teorią pola kwantowego a wirtualnymi węzłami. ^{[ potrzebne źródło ]}

Same wirtualne węzły są fascynującymi obiektami i mają wiele powiązań z innymi dziedzinami matematyki. Węzły wirtualne mają wiele ekscytujących powiązań z innymi dziedzinami teorii węzłów. Przedstawiony nierozwiązany problem jest ważną motywacją do badania wirtualnych węzłów.

Zobacz sekcję 1.1 tego artykułu [KOS] dla tła i historii tego problemu. Kauffman zaproponował rozwiązanie w przypadku rozmaitości produktów o zamkniętej zorientowanej powierzchni i zamkniętym przedziale, wprowadzając wirtualne 1-węzły. Jest otwarty w innych przypadkach. Całka po ścieżce Wittena dla wielomianu Jonesa jest formalnie zapisana dla połączeń w dowolnej zwartej 3-rozmaitości, ale rachunek różniczkowy nie jest wykonywany nawet na poziomie fizyki w żadnym przypadku innym niż 3-kula (3-kula, 3-przestrzeń R3). Ten problem jest również otwarty na poziomie fizyki. W przypadku wielomianu Aleksandra problem ten został rozwiązany.

Klasyczny węzeł można również uznać za klasę równoważności diagramów Gaussa przy pewnych ruchach pochodzących z ruchów Reidemeistera. Nie wszystkie diagramy Gaussa można zrealizować jako diagramy węzłów, ale biorąc pod uwagę wszystkie klasy równoważności diagramów Gaussa, uzyskujemy wirtualne węzły.

Klasyczny węzeł można uznać za klasę izotopów otoczenia osadzania koła w pogrubionej 2-kuli. Można to uogólnić, biorąc pod uwagę takie klasy osadzania w pogrubionych powierzchniach wyższego rodzaju. To nie do końca jest to, czego chcemy, ponieważ dodanie uchwytu do (grubej) powierzchni stworzy osadzenie pierwotnego węzła wyższego rodzaju. Dodanie uchwytu nazywamy stabilizacją, a proces odwrotny destabilizacją. Zatem wirtualny węzeł można uznać za otaczającą izotopów osadzania koła w pogrubionych powierzchniach z równoważnością wynikającą z (de) stabilizacji.

Niektóre podstawowe twierdzenia dotyczące węzłów klasycznych i wirtualnych:

Jeśli dwa klasyczne węzły są równoważne węzłom wirtualnym, są one równoważne węzłom klasycznym.
Istnieje algorytm określający, czy wirtualny węzeł jest klasyczny.
Istnieje algorytm określający, czy dwa wirtualne węzły są równoważne.

Ważne jest, aby istniał związek między poniższymi. Patrz artykuł [KOS] cytowany powyżej i poniżej.

Wirtualna równoważność wirtualnych diagramów 1-węzłowych, która jest zbiorem wirtualnych 1-węzłowych.
Spawana równoważność wirtualnych diagramów 1-węzłowych
Spawana rotacyjnie równoważność wirtualnych diagramów 1-węzłowych
Równoważność światłowodowa wirtualnych diagramów 1-węzłowych

Zdefiniowane są również wirtualne 2-węzły. Zobacz artykuł cytowany powyżej.

Zobacz też

Węzły i wykresy

Boden, Hans; Nagel, Matthias (2017). „Grupa zgodności wirtualnych węzłów” . Postępowanie Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 145 (12): 5451–5461. doi : 10.1090/proc/13667 . S2CID 119139769 .
Carter, J. Scott; Kamada, Seiichi; Saito, Masahico (2002). „Stabilna równoważność sęków na powierzchniach i wirtualnych współrzędnych węzłów. Węzły 2000 Korea, t. 1 (Yongpyong)”. J. Konsekwencje teorii węzłów . 11 (3): 311–322.
Carter, J. Scott; Srebro, Daniel; Williams, Susan (2014). „Niezmienniki ogniw w pogrubionych powierzchniach” . Topologia algebraiczna i geometryczna . 14 (3): 1377–1394. doi : 10.2140/agt.2014.14.1377 . S2CID 53137201 .
Barwnik, wrzos A (2016). Zaproszenie do teorii węzłów: wirtualne i klasyczne (wyd. Pierwsze). Chapmana i Halla/CRC. ISBN 9781315370750 .
Goussarow, Michaił; Polak, Michał; Viro, Oleg (2000). „Niezmienniki typu skończonego węzłów klasycznych i wirtualnych”. Topologia . 39 (5): 1045–1068. arXiv : matematyka/9810073 . doi : 10.1016/S0040-9383(99)00054-3 . S2CID 8871411 .
Kamada, Naoko; Kamda, Seiichi (2000). „Abstrakcyjne schematy połączeń i wirtualne węzły”. Journal of Knot Theory i jego konsekwencje . 9 (1): 93–106. doi : 10.1142/S0218216500000049 .
Kauffman, Louis H. (1999). „Teoria wirtualnych węzłów” (PDF) . Europejski Dziennik Kombinatoryki . 20 (7): 663–690. doi : 10.1006/eujc.1999.0314 . ISSN 0195-6698 . MR 1721925 . S2CID 5993431 .
Kauffman, Louis H.; Manturow, Wasilij Olegowicz (2005). „Wirtualne węzły i linki” . arXiv : math.GT/0502014 .
Kuperberg, Greg (2003). „Co to jest łącze wirtualne?” . Topologia algebraiczna i geometryczna . 3 : 587–591. doi : 10.2140/agt.2003.3.587 . S2CID 16803280 .
Manturow, Wasilij (2004). Teoria węzłów . Prasa CRC. ISBN 978-0-415-31001-7 .
Manturow, Wasilij Olegowicz (2004). „Wirtualne węzły i nieskończone wymiarowe algebry Liego”. Acta Applicandae Mathematicae . 83 (3): 221–233. doi : 10.1023/B:ACAP.0000038944.29820.5e . S2CID 124019548 .
Turajew, Władimir (2008). „Kobordyzm sęków na powierzchniach”. Dziennik topologii . 1 (2): 285–305. arXiv : matematyka/0703055 . doi : 10.1112/jtopol/jtn002 . S2CID 17888102 .

Linki zewnętrzne