Własność Serre'a FA

W matematyce właściwość FA jest własnością grup zdefiniowaną po raz pierwszy przez Jean-Pierre'a Serre'a .

Mówimy, że grupa G ma właściwość FA, jeśli każde działanie G na drzewie ma globalny punkt stały .

Serre pokazuje, że jeśli grupa ma właściwość FA, to nie może się podzielić jako połączony produkt lub rozszerzenie HNN ; w rzeczywistości, jeśli G jest zawarty w połączonym produkcie, to jest zawarty w jednym z czynników. W szczególności skończenie generowana grupa o właściwości FA ma skończoną abelianizację .

Właściwość FA jest równoważna policzalnemu G z trzema właściwościami: G nie jest produktem złożonym; G nie ma Z jako grupy ilorazowej ; G jest generowany w sposób skończony . Dla ogólnych grup G trzeci warunek można zastąpić wymaganiem, aby G nie było sumą ściśle rosnącej sekwencji podgrupy.

Przykłady grup z właściwością FA obejmują SL ₃ ( Z ) i bardziej ogólnie G ( Z ), gdzie G jest prosto połączoną prostą grupą Chevalleya o randze co najmniej 2. Grupa SL ₂ ( Z ) jest wyjątkiem, ponieważ jest izomorficzna do _{połączonego} produktu grup _cyklicznych C4 i C6 wzdłuż C2 _.

Każda grupa ilorazowa grupy o właściwości FA ma właściwość FA. Jeśli jakaś podgrupa skończonego indeksu w G ma właściwość FA, to G ma również , ale generalnie nie zachodzi odwrotność. Jeśli N jest normalną podgrupą G i zarówno N , jak i G / N mają własność FA, to G również .

Jest twierdzeniem Watataniego, że własność Kazhdana (T) implikuje własność FA, ale nie odwrotnie. Rzeczywiście, każda podgrupa indeksu skończonego w grupie T ma właściwość FA.

Przykłady

Następujące grupy mają właściwość FA:

• Skończenie generowana grupa skrętna;
• SL3 ₍ Z ) ;
• Grupa Schwarza ${\ Displaystyle \ lewo \ langle {a, b: a ^ {A} = b ^ {B} = (ab) ^ {C}=1}\right\rangle }$ dla liczb całkowitych A , B , C ≥ 2;
• SL ₂ ( R ) gdzie R jest pierścieniem liczb całkowitych algebraicznego ciała liczbowego , które nie jest Q ani urojonym ciałem kwadratowym .

Następujące grupy nie mają właściwości FA:

• SL ₂ ( Z );
• SL ₂ ( R _D ) gdzie R _D jest pierścieniem liczb całkowitych urojonego pola kwadratowego dyskryminatora innego niż −3 lub −4.

•    Serre, Jean-Pierre (1974). „Amalgames i poprawki punktów” . Materiały z drugiej Międzynarodowej Konferencji Teorii Grup . Notatki z wykładów z matematyki (w języku francuskim). Tom. 372. s. 633–640. MR 0376882 . Zbl 0308.20026 .
•   Serre, Jean-Pierre (1977). Arbres, amalgames, SL ₂ . Astérisque (po francusku). Tom. 46. ​​Société Mathématique de France. Zbl 0369.20013 . Tłumaczenie angielskie:    Serre, Jean-Pierre (2003). Drzewa . Skoczek. ISBN 3-540-44237-5 . Zbl 1013.20001 .
•    Watatani, Yasuo (1981). „Własność T Kazhdana implikuje własność FA Serre”. Matematyka Japonia . 27 : 97–103. MR 0649023 . Zbl 0489.20022 .