Widmowa gęstość korelacji

Widmowa gęstość korelacji (SCD), czasami nazywana także cykliczną gęstością widmową lub funkcją korelacji widmowej , jest funkcją opisującą poprzeczną gęstość widmową wszystkich par przesuniętych częstotliwościowo wersji szeregu czasowego. Widmowa gęstość korelacji dotyczy tylko procesów cyklostacjonarnych, ponieważ procesy stacjonarne nie wykazują korelacji widmowej. Korelacja widmowa została wykorzystana zarówno do wykrywania sygnałów, jak i ich klasyfikacji . Widmowa gęstość korelacji jest ściśle związana z każdym z dwuliniowych rozkładów czasowo-częstotliwościowych , ale nie jest uważana za jedną z klas rozkładów Cohena.

Definicja

Cykliczna funkcja autokorelacji szeregów czasowych jest obliczana w następujący sposób: ${\ textstyle x (t)}$

$${\ Displaystyle R_ {x} ^ {\ alfa} (\ tau )=\int _{-\infty}^{\infty}x\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)x^{*}\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-i2\pi \alpha t}\,dt}$$

gdzie (*) oznacza złożoną koniugację. Zgodnie z twierdzeniem Wienera-Khinchina [wątpliwe, przedyskutuj] gęstość korelacji widmowej wynosi zatem:

$${\ Displaystyle S_ {x} ^ {\ alfa} (f) = \ int _ {- \ infty} ^{\infty}R_{x}^{\alpha}(\tau)e^{-i2\pi f\tau}\,d\tau}$$

Metody szacowania

Oszacowanie SCD wspólnych sygnałów komunikacyjnych

SCD jest szacowany w domenie cyfrowej z dowolną rozdzielczością częstotliwości i czasu. Istnieje kilka metod estymacji stosowanych obecnie w praktyce w celu skutecznego oszacowania korelacji widmowej do wykorzystania w analizie sygnałów w czasie rzeczywistym ze względu na dużą złożoność obliczeniową. Niektóre z bardziej popularnych to metoda akumulacji FFT (FAM) i algorytm korelacji widma paskowego. Niedawno wprowadzono algorytm szybkiej korelacji widmowej (FSC).

Metoda akumulacji FFT (FAM)

W tej sekcji opisano kroki, które należy wykonać, aby obliczyć SCD na komputerach. Jeśli z MATLABem lub biblioteką NumPy w Pythonie , kroki są raczej proste do wdrożenia. Metoda FFT (FAM) to cyfrowe podejście do obliczania SCD. Jego wejściem jest duży blok próbek IQ, a wyjściem jest obraz o wartościach zespolonych, SCD.

Niech sygnał lub blok próbek IQ $będzie$ tensorem o wartościach zespolonych $.$ wielowymiarową tablicą o kształcie element jest próbką IQ Pierwszym krokiem FAM jest rozbicie $nakładaniem$$się$ ramek o rozmiarze z

${\ Displaystyle X = {\ rozpocząć {bmatrix} x [0: N '] \\ x [L: L + N'] \\ x [2L: 2L + N'] \\ x [3L: 3L + N' ]\\.\\.\\.\end{bmacierz}},}$

gdzie $jest$ odstępem między początkami okien Nakładanie się uzyskuje się, gdy ${\ displaystyle L <N'}$ . ${\ Displaystyle X}$ jest tensorem kształtu ${\ Displaystyle (P, N ')}$ i zależy od tego, ile $}$ zmieściło się w $}$${\ Displaystyle x$ .

Następnie funkcja okienkowania $Displaystyle ($ kształcie $',)} , podobnie jak$ Hamminga, jest stosowana do każdego rzędu w $displaystyle X}$ .

${\ Displaystyle X '= {\ rozpocząć {bmatrix} a (N') \\ a (N') \\ a (N') \\.\\.\\.\\\ koniec {bmatrix }}\czasami X,}$

gdzie $mnożeniem$ elementarnym. Następnie FFT jest wykonywana w każdym rzędzie w ${\ displaystyle X'}$

${\ Displaystyle W = {\ rozpocząć {bmatrix} FFT (X [0,:]) \\ FFT (X [1,:]) \\ FFT (X [2,:]) \\.\\.\\ .\\\koniec{bmacierzy}}.}$

${\ displaystyle W}$ jest powszechnie znany jako działka wodospadu lub spektrogram . Następnym krokiem w FAM jest korekta fazy z opóźnienia ramek FFTed.

${\ Displaystyle W' = {\ rozpocząć {bmatrix} W [0,:] \\ e ^ {j \ omega L} \ czasami W [1,:] \\ e ^ {j \ omega 2L} \ czasami W [ 2,:]\\e^{j\omega 3L}\oraz W[3,:]\\.\\.\\.\\\end{bmatrix}},}$

gdzie jest tensorem kształtu ${\ Displaystyle (N ',)} odpowiadającym$$Displaystyle \ omega}$ częstotliwości cyfrowej w FFT ω {\

${\ Displaystyle \ omega = {\ bigg [} - \ pi, ..., \ pi - {\ Frac {2 \ pi} {N'}} {\ bigg ]}.}$

Następnie FFT są autokorelowane w celu utworzenia tensora $($$\ Displaystyle (P, N', N')$ } .

${\ Displaystyle S [i, j, k] = W '[i, j] W' [i, k ]^{*},}$

gdzie oznacza $koniugat$ . Innymi słowy, jeśli pozwolimy $N')}$$i} = W'$ kształtu $Displaystyle W_$ , możemy przepisać jako ${\ displaystyle S}$

${\ Displaystyle S [i,:,:] = W_ {i} ^ {H} W_ {i},}$

gdzie H oznacza hermitowską (koniugat i transpozycję) macierzy. Następnym krokiem jest wykonanie FFT $.$ pierwszej osi

${\ Displaystyle S '[:, i, j] = FFT (S [:, i, j]).}$

${\ displaystyle S'}$ to pełny SCD, ale w kształcie trójwymiarowego tensora. Naszym $displaystyle$ jest dwuwymiarowy tensor $matryca$ lub obraz) o kształcie ( , określonemu s { częstotliwość ${\ displaystyle f}$ i częstotliwość cykliczna ${\ displaystyle \ alpha}$ . Wszystkie wartości w . ${\ displaystyle \ alpha}$$\ displaystyle S '}$${$$można$ ułożyć w tensorze , a $wszystkie$ wartości w tensorze $\$ . Tutaj ${\ Displaystyle f \ w [-.5, + .5)}$ i ${\ displaystyle \ alpha \ in [-1, + 1)}$ to znormalizowane częstotliwości.

${\ Displaystyle F [i, j, k] = {\ Frac {j + k} {2N'}} -.5.}$

${\ Displaystyle A [i, j, k] = {\ Frac {jk} {N'}} + {\ bigg (} i- {\ Frac {P} {2}} {\ bigg)} \ Delta \ alfa .}$

gdzie ${\ Displaystyle \ Delta \ alfa = 1/N}$ . $s {$ obraz SCD $\$ ułożyć w postaci macierzy z zerami, w której nie ma wartości dla określonej pary w $} displaystyle S '}$ i wpisy z ${\ displaystyle S'}$ , gdzie jest to ważne zgodnie z i ZA $\ displaystyle A}$${\ displaystyle F}$ .

Szacowanie SCD przez pominięcie drugiego FFT

Pełny SCD jest dość duży i złożony obliczeniowo, głównie z powodu drugiej rundy FFT. Na szczęście z $}$ można obliczyć oszacowanie SCD jako ${\ displaystyle S$

${\ Displaystyle s '= {\ Frac {1} {P}} \ suma _ {i = 0} ^ {P-1} S' [i,:,:].}$

Dla jeszcze mniejszej złożoności obliczeniowej możemy obliczyć jako ${\ displaystyle s'}$

${\ Displaystyle s '= {\ Frac {1} {P}} \ suma _ {i = 0} ^ {P-1} Si,:,:],}$

ponieważ uśrednienie wszystkich wartości w oknie FFT przed lub po FFT jest równoważne. $obrócona o$ , że $wyglądać jak$ 45 stopni wersja prawdziwego .

Dalsza lektura

•   Neapolitano, Antonio (2012-12-07). Uogólnienia przetwarzania sygnałów cyklostacjonarnych: analiza spektralna i zastosowania . John Wiley & Synowie. ISBN 9781118437919 .
•   Tempo, Phillip E. (2004-01-01). Wykrywanie i klasyfikacja radaru przechwytującego o niskim prawdopodobieństwie . Dom Artecha. ISBN 9781580533225 .