Proces cyklostacjonarny

Proces cyklostacjonarny to sygnał o właściwościach statystycznych, które zmieniają się cyklicznie w czasie. Proces cyklostacjonarny można postrzegać jako wiele przeplatanych procesów stacjonarnych . Na przykład maksymalną dzienną temperaturę w Nowym Jorku można modelować jako proces cyklostacjonarny: maksymalna temperatura 21 lipca różni się statystycznie od temperatury 20 grudnia; jednak rozsądne jest przybliżenie, że temperatura 20 grudnia różnych lat ma identyczne statystyki. W ten sposób losowy proces składający się z dziennych maksymalnych temperatur możemy postrzegać jako 365 przeplatających się procesów stacjonarnych, z których każdy przyjmuje nową wartość raz w roku.

Definicja

Istnieją dwa różne podejścia do traktowania procesów cyklostacjonarnych. Podejście stochastyczne polega na postrzeganiu pomiarów jako przykładu abstrakcyjnego procesu stochastycznego . Alternatywnie, bardziej empiryczne podejście polega na postrzeganiu pomiarów jako pojedynczych szeregów czasowych danych – tych, które faktycznie zostały zmierzone w praktyce i, w przypadku niektórych części teorii, koncepcyjnie rozciągnięte od obserwowanego skończonego przedziału czasu do nieskończonego przedziału czasu . Oba modele matematyczne prowadzą do teorii probabilistycznych: abstrakcyjnego prawdopodobieństwa stochastycznego dla modelu procesu stochastycznego i bardziej empirycznego prawdopodobieństwa ułamka czasu (FOT) dla modelu alternatywnego. Prawdopodobieństwo FOT jakiegoś zdarzenia związanego z szeregiem czasowym definiuje się jako ułamek czasu, w którym zdarzenie występuje w okresie istnienia szeregu czasowego. W obu podejściach mówi się, że proces lub szereg czasowy jest cyklostacjonarny wtedy i tylko wtedy, gdy związane z nim rozkłady prawdopodobieństwa zmieniają się okresowo w czasie. Jednak w niestochastycznym podejściu do szeregów czasowych istnieje alternatywna, ale równoważna definicja: mówi się, że szereg czasowy, który nie zawiera addytywnych składowych sinusoidalnych o skończonej sile, wykazuje cyklostacjonarność wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje jakaś nieliniowa niezmienna w czasie transformacja szeregów czasowych, która tworzy addytywne składowe sinusoidalne o skończonej sile (niezerowej).

Cyklostacjonarność w szerokim sensie

Ważnym szczególnym przypadkiem sygnałów cyklostacjonarnych jest taki, który wykazuje cyklostacjonarność w statystyce drugiego rzędu (np. funkcja autokorelacji ). Nazywa się je cyklostacjonarnymi o szerokim znaczeniu i są one analogiczne do procesów stacjonarnych o szerokim znaczeniu . Dokładna definicja różni się w zależności od tego, czy sygnał jest traktowany jako proces stochastyczny, czy jako deterministyczny szereg czasowy.

Cyklostacjonarny proces stochastyczny

Proces stochastyczny średniej mi $\ Displaystyle \ operatorname {E} [x (t)]}$${$ x ( t )

${\ Displaystyle R_ {x} (t, \ tau) = \ nazwa operatora {E} \ {x (t + \ tau )x^{*}(t)\},\,}$

gdzie gwiazda oznacza złożoną koniugację , mówi się, że jest cyklostacjonarna w szerokim sensie z okresem, jeśli zarówno $E} [x (t)$$nazwa$ i ${\ Displaystyle R_ {x} (t, \ tau)}$ są cykliczne w ${\ Displaystyle t}$ z okresem ${\ Displaystyle T_ {0}},$ tj.:

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [x (t)] = \ nazwa operatora {E} [x (t + T_ {0} })] {\text{ dla wszystkich}} t}$

${\ Displaystyle R_ {x} (t, \ tau) = R_ {x} (t ​​+ T_ {0}; \ tau) {\ tekst {dla wszystkich}} t, \ tau.}$

Funkcja autokorelacji jest zatem okresowa w t i można ją rozwinąć w szereg Fouriera :

${\ Displaystyle R_ {x} (t, \ tau) = \ suma _ {n = - \infty }^{\infty}R_{x}^{n/T_{0}}(\tau)e^{j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}}$

gdzie nazywa się cykliczną funkcją autokorelacji i jest równa: ${\ Displaystyle R_ {x} ^ {n/T_ {0}} (\ tau)}$

${\ Displaystyle R_ {x} ^ {n/T_ {0}} (\ tau) = {\ Frac {1} {T_ {0}}} \ int _ {-T_ {0}/2} ^ {T_ { 0}/2}R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\mathrm {d} t.}$

Częstotliwości ${\ Displaystyle n/T_ {0}, \, n \ in \ mathbb {Z}}$ nazywane są częstotliwościami cykli .

Procesy stacjonarne o szerokim znaczeniu są szczególnym przypadkiem procesów cyklostacjonarnych, w których występuje tylko ${\ Displaystyle R_ {x} ^ {0} (\ tau) \ neq 0}$ .

Cyklostacjonarne szeregi czasowe

Sygnał, który jest tylko funkcją czasu, a nie ścieżką próbki procesu stochastycznego, może wykazywać właściwości cyklostacjonarności w ramach punktu widzenia ułamka czasu . W ten sposób cykliczna funkcja autokorelacji może być zdefiniowana przez:

${\ Displaystyle {\ widehat {R}} _ {x} ^ {n/T_ {0}} (\ tau) = \ lim _ {T \ strzałka w prawo + \ infty} {\ Frac {1} {T}} \ int _{-T/2}^{T/2}x(t+\tau )x^{*}(t)e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t} \mathrm {d} t.}$

Jeśli szereg czasowy jest przykładową ścieżką procesu stochastycznego, jest to ${\ Displaystyle R_ {x} ^ {n/T_ { 0}}(\tau )=\operatorname {E} \left[{\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau)\right]}$ . Jeśli sygnał jest dalej cykloergodyczny, wszystkie ścieżki próbek wykazują te same cykliczne średnie czasowe z prawdopodobieństwem równym 1, a zatem ${\ Displaystyle R_ {x} ^ {n/T_{0}}(\tau )={\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )} z prawdopodobieństwem$ 1.

Zachowanie w dziedzinie częstotliwości

Transformata Fouriera cyklicznej funkcji autokorelacji przy częstotliwości cyklicznej α nazywana jest widmem cyklicznym lub funkcją gęstości korelacji widmowej i jest równa:

${\ Displaystyle S_ {x} ^ {\ alfa} (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} R_ {x} ^ {\ alfa} (\ tau) e ^ {-j2 \ pi f\tau }\mathrm {d} \tau .}$

Widmo cykliczne przy zerowej częstotliwości cyklicznej jest również nazywane średnią gęstością widmową mocy . W przypadku cyklostacjonarnego procesu Gaussa jego funkcję zniekształcenia szybkości można wyrazić za pomocą widma cyklicznego.

Powodem, dla którego nazywa się $widmową$ funkcją gęstości korelacji, jest to, że jest równa granicy, gdy szerokość pasma filtra zbliża $2$ wyjścia jednostronnego filtra pasmowoprzepustowego o częstotliwości środkowej innego jednostronnego filtra pasmowoprzepustowego o $środkowej$ , z częstotliwością wyjściową obu filtrów przesuniętą do wspólnej częstotliwości środkowej, takiej jak zero, jak pierwotnie zaobserwowano i udowodniono w.

W przypadku szeregów czasowych powodem, dla którego cykliczna funkcja gęstości widmowej jest nazywana funkcją gęstości korelacji widmowej, jest to, że jest równa granicy, gdy szerokość pasma filtra zbliża się do zera, średniej w całym czasie iloczynu wyjścia jednostronnego filtra pasmowoprzepustowego z częstotliwością środkową $α$ jednostronnego filtra środkowoprzepustowego z częstotliwością środkową $Displaystyle f- \ alpha / 2}$ z częstotliwość wyjściowa obu filtrów została przesunięta do wspólnej częstotliwości środkowej, takiej jak zero, jak pierwotnie zaobserwowano i udowodniono w.

Przykład: liniowo modulowany sygnał cyfrowy

Przykładem sygnału cyklostacjonarnego jest modulowany liniowo sygnał cyfrowy :

${\ Displaystyle x (t) = \ suma _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {k} p (t -kT_{0})}$

gdzie $_$ zmiennymi _ _ Przebieg $Fouriera$ z $_$ _

Zakładając ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [a_ {k}] = 0}$ i ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [| a_ {k} | ^ {2}] = \ sigma _ {a} ^ {2}}$ , funkcja autokorelacji to:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} R_ {x} (t, \ tau) & = \ nazwa operatora {E} [x (t + \ tau) x ^ {*} (t)] \\ [6pt] & = \ suma _{k,n}\nazwaoperatora {E} [a_{k}a_{n}^{*}]p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-nT_{0}) \\[6pt]&=\sigma _{a}^{2}\sum _{k}p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-kT_{0}).\end {wyrównany}}}$

Ostatnie sumowanie jest sumowaniem okresowym , stąd sygnał okresowy w t . W ten sposób jest sygnałem cyklostacjonarnym z okresem $\ displaystyle x (t)}$ cykliczną funkcją autokorelacji: ${$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} R_ {x} ^ {n/T_ {0}} (\ tau) & = {\ Frac {1} {T_ {0}}} \ int _ {-T_ {0} /2}^{T_{0}/2}R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\,\mathrm {d } t\\[6pt]&={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}\sigma _{a}^ {2}\sum _{k=-\infty }^{\infty }p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-kT_{0})e^{-j2\pi { \frac {n}{T_{0}}}t}\mathrm {d} t\\[6pt]&={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}\ suma _{k=-\infty }^{\infty }\int _{-T_{0}/2-kT_{0}}^{T_{0}/2-kT_{0}}p(\lambda + \tau )p^{*}(\lambda )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}(\lambda +kT_{0})}\mathrm {d} \lambda \ \[6pt]&={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}\int _{-\infty}^{\infty}p(\lambda +\tau)p ^{*}(\lambda )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}\lambda }\mathrm {d} \lambda \\[6pt]&={\frac {\ sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}p(\tau)*\left\{p^{*}(-\tau)e^{j2\pi {\frac {n}{ T_{0}}}\tau }\prawo\}.\end{wyrównane}}}$

gdzie ${\ displaystyle *}$ wskazuje splot . Widmo cykliczne to:

${\ Displaystyle S_ {x} ^ {n / T_ {0}} (f) = {\ Frac {\ sigma _ {a} ^ {2}} {T_ {0}}} P (f) P ^ {* }\left(f-{\frac {n}{T_{0}}}\right).}$

Typowe $impulsy$ podniesionym cosinusie cyfrowej mają zatem cykliczne

Ten sam wynik można uzyskać dla niestochastycznego modelu szeregów czasowych liniowo modulowanych sygnałów cyfrowych, w którym oczekiwanie jest zastąpione nieskończoną średnią czasową, ale wymaga to nieco zmodyfikowanej metody matematycznej, jak pierwotnie zaobserwowano i udowodniono w.

Modele cyklostacjonarne

Możliwe jest uogólnienie klasy modeli autoregresyjnych średnich kroczących w celu uwzględnienia zachowania cyklostacjonarnego. Na przykład Troutman potraktował autoregresje , w których współczynniki autoregresji i wariancja resztkowa nie są już stałe, ale zmieniają się cyklicznie w czasie. Jego prace są kontynuacją szeregu innych badań procesów cyklostacjonarnych w dziedzinie analizy szeregów czasowych .

Policyklostacjonarność

W praktyce pojawiają się sygnały wykazujące cykliczność z więcej niż jednym niewspółmiernym okresem i wymagają one uogólnienia teorii cyklostacjonarności. Takie sygnały nazywane są policyklostacjonarnymi, jeśli wykazują skończoną liczbę niewspółmiernych okresów i prawie cyklostacjonarnymi, jeśli wykazują policzalną nieskończoną liczbę. Takie sygnały pojawiają się często w komunikacji radiowej z powodu wielu transmisji z różnymi częstotliwościami nośnymi fali sinusoidalnej i szybkością symboli cyfrowych. Teoria została wprowadzona dla procesów stochastycznych i dalej rozwijana dla niestochastycznych szeregów czasowych.

Cyklostacjonarność wyższego rzędu i ścisłego sensu

Szerokosensowna teoria szeregów czasowych wykazujących cyklostacjonarność, policyklostacjonarność i prawie cyklostacjonarność, zapoczątkowana i rozwinięta przez Gardnera, została również uogólniona przez Gardnera na teorię momentów czasowych i widmowych wyższego rzędu oraz kumulantów oraz ściśle sensowną teorię skumulowanych rozkładów prawdopodobieństwa. Ta encyklopedyczna książka wszechstronnie uczy tego wszystkiego i zapewnia naukowe podejście do oryginalnych publikacji Gardnera i późniejszych wkładów innych.

Aplikacje

• Cyklostacjonarność ma niezwykle różnorodne zastosowania w zasadzie we wszystkich dziedzinach inżynierii i nauki, jak dokładnie udokumentowano w i. Oto kilka przykładów:
• Cyklostacjonarność jest wykorzystywana w telekomunikacji do synchronizacji sygnałów , optymalizacji nadajników i odbiorników oraz wykrywania widma w kognitywnym radiu;
• W inteligencji sygnałowej cyklostacjonarność jest używana do przechwytywania sygnału;
• W ekonometrii cyklostacjonarność jest wykorzystywana do analizy okresowego zachowania rynków finansowych;
• Teoria kolejek wykorzystuje teorię cyklostacjonarną do analizy sieci komputerowych i ruchu samochodowego;
• Cyklostacjonarność jest wykorzystywana do analizy sygnałów mechanicznych wytwarzanych przez maszyny wirujące i poruszające się ruchem posuwisto-zwrotnym.

Kątowo-czasowa cyklostacjonarność sygnałów mechanicznych

Sygnały mechaniczne wytwarzane przez maszyny obracające się lub poruszające się ruchem posuwisto-zwrotnym są niezwykle dobrze modelowane jako procesy cyklostacjonarne. Rodzina cyklostacjonarna akceptuje wszystkie sygnały z ukrytą okresowością, zarówno typu addytywnego (obecność składowych tonalnych), jak i multiplikatywnego (obecność modulacji okresowych). Dzieje się tak w przypadku hałasu i wibracji wytwarzanych przez mechanizmy przekładniowe, łożyska, silniki spalinowe, turbowentylatorki, pompy, śmigła itp. Wyraźne modelowanie sygnałów mechanicznych jako procesów cyklostacjonarnych okazało się przydatne w kilku zastosowaniach, takich jak hałas , wibracje i szorstkość (NVH) oraz monitorowanie stanu . W tej ostatniej dziedzinie stwierdzono, że cyklostacjonarność uogólnia widmo obwiedni , popularną technikę analityczną stosowaną w diagnostyce uszkodzeń łożysk.

Cechą charakterystyczną sygnałów maszyny wirującej jest to, że okres procesu jest ściśle powiązany z kątem obrotu określonego elementu – „cyklu” maszyny. Jednocześnie należy zachować opis czasowy, aby odzwierciedlić naturę zjawisk dynamicznych, którymi rządzą równania różniczkowe czasu. Dlatego używana jest funkcja autokorelacji kąt-czas ,

${\ Displaystyle R_ {x} (\ teta, \ tau) = \ operatorname {E} \{x(t(\theta )+\tau )x^{*}(t(\theta ))\},\,}$

gdzie $\ theta}$$}$ oznacza kąt, $i$ chwili czasu odpowiadającej kątowi dla czasowego $Displaystyle \$ . Procesy, których funkcja autokorelacji kąt-czas wykazuje składową okresową w kącie, tj. taką, że ma niezerowy współczynnik Fouriera-Bohra dla niektórych ${\ Displaystyle R_ {x} (\ theta; \ tau)}$ okres kątowy $.$ nazywane są (szeroko rozumianymi) cyklostacjonarnymi kątowo-czasowymi Podwójna transformata Fouriera funkcji autokorelacji kąt-czas definiuje korelację widmową rzędu-częstotliwości ,

${\ Displaystyle S_ {x} ^ {\ alfa} (f) = \ lim _ {S \ strzałka w prawo + \ infty} {\ Frac {1} {S}} \ int _ {-S / 2} ^ {S/2}\int _{-\infty }^{+\infty }R_{x}(\theta ,\tau )e^{-j2\pi f\tau }e^{-j2\pi \alpha {\ frac {\ theta }{\ Theta }}} \, \ operatorname {d} \ tau \, \ operatorname {d} \ theta}$

gdzie jest rzędem (jednostka w zdarzeniach na obrót $)$ i $jednostką$ w Hz)

Dla stałej prędkości obrotowej kąt jest proporcjonalny do czasu, $= \ omega t}$$Displaystyle \$ . W konsekwencji autokorelacja kąt-czas jest po prostu tradycyjną autokorelacją w skali cykliczności; to znaczy częstotliwości cykli są skalowane przez ${\ displaystyle \ omega}$ . Z drugiej strony, jeśli prędkość obrotowa zmienia się w czasie, to sygnał nie jest już cyklostacjonarny (chyba że prędkość zmienia się okresowo). Dlatego nie jest to model dla sygnałów cyklostacjonarnych. Nie jest to nawet model odkształconej w czasie cyklostacjonarności, chociaż może być użytecznym przybliżeniem wystarczająco powolnych zmian prędkości obrotowej.

Linki zewnętrzne

• Hałas w mikserach, oscylatorach, samplerach i logice: wprowadzenie do szumu cyklostacjonarnego prezentacja prezentacji z adnotacjami