Wielościan Császára

Wielościan Császára
Animacja obracania i rozkładania wielościanu Császára
Typ	Toroidalny wielościan
Twarze	14 trójkątów
Krawędzie	21
Wierzchołki	7
znak Eulera.	0 (Rodzaj 1)
Konfiguracja wierzchołków	3.3.3.3.3.3
Grupa symetrii	do 1 , [ ] + , (11)
Podwójny wielościan	Wielościan Szilassiego
Nieruchomości	Niewypukły _

W geometrii wielościan Császár ( węgierski: [ˈt͡ʃaːsaːr] ) jest niewypukłym toroidalnym wielościanem z 14 trójkątnymi ścianami .

Ten wielościan nie ma przekątnych ; każda para wierzchołków jest połączona krawędzią. Siedem wierzchołków i 21 krawędzi wielościanu Császára tworzy osadzenie pełnego grafu K ₇ na torusie topologicznym . Spośród 35 możliwych trójkątów z wierzchołków wielościanu tylko 14 to ściany.

Kompletny wykres

Model 3D STL wielościanu Császára

Interaktywna projekcja ortograficzna wielościanu Csaszara. Na obrazie SVG przesuń mysz w lewo iw prawo, aby obrócić model.

Czworościan i wielościan Császára to jedyne dwa znane wielościany (mające rozmaitą granicę) bez żadnych przekątnych: każde dwa wierzchołki wielokąta są połączone krawędzią, więc nie ma odcinka między dwoma wierzchołkami, który nie leży na wielościanie granica. Oznacza to, że wierzchołki i krawędzie wielościanu Császára tworzą graf pełny .

Kombinatoryczny opis tego wielościanu został opisany wcześniej przez Möbiusa. Trzy dodatkowe wielościany tego typu można znaleźć w pracy J. Bokowskiego i A. Eggerta.

Jeśli granica wielościanu z v wierzchołkami tworzy powierzchnię z h otworami w taki sposób, że każda para wierzchołków jest połączona krawędzią, wynika to z pewnej manipulacji charakterystyką Eulera , że

$${\ Displaystyle h = {\ Frac {(v-3) (v-4)} {12}}.}$$

To równanie jest spełnione dla czworościanu o h = 0 i v = 4 oraz dla wielościanu Császára o h = 1 i v = 7. Następne możliwe rozwiązanie, h = 6 i v = 12, odpowiadałoby wielościanowi o 44 ścian i 66 krawędzi, ale nie można go zrealizować jako wielościanu. Nie wiadomo, czy taki wielościan istnieje w wyższym rodzaju ( Ziegler 2008 ).

Mówiąc bardziej ogólnie, to równanie może być spełnione tylko wtedy, gdy v jest zgodne z 0, 3, 4 lub 7 modulo 12 ( Lutz 2001 ).

Historia i pokrewne wielościany

Wielościan Császár został nazwany na cześć węgierskiego topologa Ákosa Császára , który odkrył go w 1949 roku . ma 14 wierzchołków, 21 krawędzi i siedem sześciokątnych ścian, z których każda ma wspólną krawędź z każdą inną ścianą. Podobnie jak wielościan Császára, wielościan Szilassi ma topologię torusa.

Istnieją inne znane wielościany, takie jak wielościan Schönhardta , dla którego nie ma wewnętrznych przekątnych (to znaczy wszystkie przekątne są poza wielościanem), a także powierzchnie niezróżnicowane bez przekątnych (Szabó 1984 , 2009 ).

• Császár, A. (1949), „Wielościan bez przekątnych” (PDF) , Acta Sci. Matematyka Szeged , 13 : 140–142, zarchiwizowane z oryginału (PDF) w dniu 18.09.2017 r.
•   Gardner, Martin (1988), Podróże w czasie i inne dezorientacje matematyczne , WH Freeman and Company, s. 139–152 , Bibcode : 1988ttom.book.....G , ISBN 0-7167-1924-X
•   Gardner, Martin (1992), Fractal Music, Hypercards and More: Mathematical Recreations from Scientific American , WH Freeman and Company, s. 118–120, ISBN 0-7167-2188-0
• Lutz, Frank H. (2001), „Torus Császára” , Elektroniczne modele geometrii : 2001.02.069 .
•   Szabó, Sándor (1984), „Wielościany bez przekątnych”, Periodica Mathematica Hungarica , 15 (1): 41–49, doi : 10.1007/BF02109370 , S2CID 189834222 .
•   Szabó, Sándor (2009), „Wielościany bez przekątnych II”, Periodica Mathematica Hungarica , 58 (2): 181–187, doi : 10.1007/s10998-009-10181-x , S2CID 45731540 .
•    Ziegler, Günter M. (2008), „Powierzchnie wielościenne wysokiego rodzaju”, w Bobenko, AI; Schröder, P.; Sullivan, JM ; Ziegler, GM (red.), Discrete Differential Geometry , Oberwolfach Seminars, tom. 38, Springer-Verlag, s. 191–213, arXiv : math.MG/0412093 , doi : 10.1007/978-3-7643-8621-4_10 , ISBN 978-3-7643-8620-7 , S2CID 15911143 .

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Csaszar Wielościan” . MathWorld .
• Wielościan Császára w wirtualnej rzeczywistości w NeoTrie VR.